MATEMANIJA

1. Vrednost proizvoda [inlmath]\sin20^\circ\sin40^\circ\sin80^\circ[/inlmath] je?

2. Neka su [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] oštri uglovi takvi da je [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\text{tg }\beta=\frac{1}{\sqrt2}[/inlmath]. Razlika [inlmath]\alpha-\beta[/inlmath] tih uglova je?

sevdah baby je napisao:1. Vrednost proizvoda [inlmath]\sin20^\circ\sin40^\circ\sin80^\circ[/inlmath] je?

[dispmath]\sin20^\circ\sin40^\circ\sin80^\circ=[/dispmath] Primena trigonometrijske transformacije proizvoda u zbir:
[inlmath]\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\bigl(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\bigr)[/inlmath]
[dispmath]=\sin40^\circ\left(-\frac{1}{2}\right)\bigl(\cos(20^\circ+80^\circ)-\cos(20^\circ-80^\circ)\bigr)=\frac{1}{2}\sin40^\circ\bigl(\cos(-60^\circ)-\cos100^\circ\bigr)=\\
=\frac{1}{2}\sin40^\circ(\cos60^\circ-\cos100^\circ)=\frac{1}{2}\sin40^\circ\left(\frac{1}{2}-\cos100^\circ\right)=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{2}\sin40^\circ\cos100^\circ=[/dispmath] Primena trigonometrijske transformacije proizvoda u zbir:
[inlmath]\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\bigl(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr)[/inlmath]
[dispmath]=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\bigl(\sin(40^\circ+100^\circ)+\sin(40^\circ-100^\circ)\bigr)=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{4}\bigl(\sin140^\circ+\sin(-60^\circ)\bigr)=\\
=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{4}(\sin140^\circ-\sin60^\circ)=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{4}\sin140^\circ+\frac{1}{4}\sin60^\circ=\\
=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{4}\sin(180^\circ-40^\circ)+\frac{1}{4}\sin60^\circ=[/dispmath] Primenjujemo osobinu:
[inlmath]\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha[/inlmath]
[dispmath]=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{4}\sin40^\circ+\frac{1}{4}\sin60^\circ=\frac{1}{4}\sin60^\circ=\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{8}[/dispmath]

sevdah baby je napisao:2. Neka su [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] oštri uglovi takvi da je [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\text{tg }\beta=\frac{1}{\sqrt2}[/inlmath]. Razlika [inlmath]\alpha-\beta[/inlmath] tih uglova je?

U formuli za tangens razlike uglova figurišu izrazi za tangens svakog od ta dva ugla, a tangensi uglova su nam ovde poznati. Prema tome, dovoljno je samo primeniti formulu za tangens razlike uglova:
[dispmath]\text{tg }(\alpha-\beta)=\frac{\text{tg }\alpha-\text{tg }\beta}{1+\text{tg }\alpha\text{ tg }\beta}\\
\text{tg }(\alpha-\beta)=\frac{\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}-\frac{1}{\sqrt2}}{1+\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}\cdot\frac{1}{\sqrt2}}[/dispmath] Pomnožimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]\sqrt2\left(\sqrt2-1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\text{tg }(\alpha-\beta)=\frac{\sqrt2\left(\sqrt2+1\right)-\left(\sqrt2-1\right)}{\sqrt2\left(\sqrt2-1\right)+\left(\sqrt2+1\right)}\\
\text{tg }(\alpha-\beta)=\frac{2+\cancel{\sqrt2}-\cancel{\sqrt2}+1}{2-\cancel{\sqrt2}+\cancel{\sqrt2}+1}=\frac{3}{3}=1\\
\alpha-\beta=\text{arctg }1=45^\circ[/dispmath]

Hvala ti puno + taj drugi je bio uradjen sa nekim uslovima, pa sam ga zato ovde postavila. Inace ne znam kako da se snadjem na forumu sa tastaturom, pa zato saljem print screen zadataka ukljucujuci i ovaj http://i.imgur.com/AeT7ILt.png

Ima o tome uputstvo ovde, sa mnogobrojnim primerima.
Nije ništa teško, neki osnovni princip se nauči za nekoliko minuta, a vrlo je korisno jer doprinosi preglednosti foruma.

Što se ovog zadatka tiče, ako se sračuna numerički, dobije se prilično čudna vrednost, [inlmath]\alpha=43,9276476\ldots^\circ[/inlmath]. Nešto nemam utisak da bi se takva vrednost mogla dobiti sređivanjem ovog izraza. Je l' sigurno ispravna postavka zadatka?

Druga zagrada u imeniocu je minus a ne plus

Dobro da sam odmah batalio tako postavljen zadatak, inače bih bzvz izgubio ceo dan...
OK, s tim minusom sada već ima smisla.
Dakle, tekst zadatka glasi:

Ako je [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\frac{(1+\text{tg }1^\circ)(1+\text{tg }2^\circ)-2}{(1-\text{tg }1^\circ)(1-\text{tg }2^\circ)-2}[/inlmath] i [inlmath]\alpha\in(0,90^\circ)[/inlmath] tada je [inlmath]\alpha[/inlmath]?

Zadatak mi se veoma svideo, jer na kraju ima jednu fenomenalnu „caku“... Ali, o tom potom...
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{(1+\text{tg }1^\circ)(1+\text{tg }2^\circ)-2}{(1-\text{tg }1^\circ)(1-\text{tg }2^\circ)-2}[/dispmath] To izmnožimo...
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{1+\text{tg }1^\circ+\text{tg }2^\circ+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-2}{1-\text{tg }1^\circ-\text{tg }2^\circ+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-2}\\
\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }1^\circ+\text{tg }2^\circ+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-1}{-\text{tg }1^\circ-\text{tg }2^\circ+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-1}[/dispmath] pa primenimo identitet:
[dispmath]\text{tg }(x+y)=\frac{\text{tg }x+\text{tg }y}{1-\text{tg }x\text{ tg }y}\quad\Longrightarrow\quad\text{tg }x+\text{tg }y=\text{tg }(x+y)(1-\text{tg }x\text{ tg }y)\\
\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }(1^\circ+2^\circ)(1-\text{tg }1^\circ\text{ tg }2^\circ)+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-1}{-\text{tg }(1^\circ+2^\circ)(1-\text{tg }1^\circ\text{ tg }2^\circ)+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-1}\\
\text{tg }\alpha=\frac{(1-\text{tg }1^\circ\text{ tg }2^\circ)(\text{tg }3^\circ-1)}{(1-\text{tg }1^\circ\text{ tg }2^\circ)(-\text{tg }3^\circ-1)}\\
\text{tg }\alpha=\frac{1-\text{tg }3^\circ}{1+\text{tg }3^\circ}\qquad(1)\\
\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }45^\circ-\text{tg }3^\circ}{\text{tg }45^\circ+\text{tg }3^\circ}[/dispmath] pa opet primenimo prethodni identitet:
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }(45^\circ-3^\circ)(1+\text{tg }45^\circ\text{ tg }3^\circ)}{\text{tg }(45^\circ+3^\circ)(1-\text{tg }45^\circ\text{ tg }3^\circ)}\\
\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }42^\circ(1+\text{tg }3^\circ)}{\text{tg }48^\circ(1-\text{tg }3^\circ)}\\
\text{tg }48^\circ=\text{tg }(90^\circ-42^\circ)=\text{ctg }42^\circ=\frac{1}{\text{tg }42^\circ}\\
\text{tg }\alpha=\text{tg}^242^\circ\frac{1+\text{tg }3^\circ}{1-\text{tg }3^\circ}\qquad(2)[/dispmath] I, evo sad te zanimljive „cake“ koju spomenuh na početku:
[dispmath](1),(2)\quad\Longrightarrow\quad\frac{1-\text{tg }3^\circ}{1+\text{tg }3^\circ}=\text{tg}^242^\circ\frac{1+\text{tg }3^\circ}{1-\text{tg }3^\circ}\\
\left.\left(\frac{1-\text{tg }3^\circ}{1+\text{tg }3^\circ}\right)^2=\text{tg}^242^\circ\quad\right/\;\sqrt{\phantom{a}}\\
\frac{1-\text{tg }3^\circ}{1+\text{tg }3^\circ}=\text{tg }42^\circ\qquad(3)\\
(1),(3)\quad\Longrightarrow\quad\text{tg }\alpha=\text{tg }42^\circ\\
\enclose{box}{\alpha=42^\circ}[/dispmath]

Daniel je napisao:Ako je [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\frac{(1+\text{tg }1^\circ)(1+\text{tg }2^\circ)-2}{(1-\text{tg }1^\circ)(1-\text{tg }2^\circ)-2}[/inlmath] i [inlmath]\alpha\in(0,90^\circ)[/inlmath] tada je [inlmath]\alpha[/inlmath]?

A može i ovako (po meni jednostavnije):
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{(1+\text{tg }1^\circ)(1+\text{tg }2^\circ)-2}{(1-\text{tg }1^\circ)(1-\text{tg }2^\circ)-2}={\frac{{\large\frac{\sin1^\circ+\cos1^\circ}{\cos1^\circ}\cdot\frac{\sin2^\circ+\cos2^\circ}{\cos2^\circ}}-2}{{\large\frac{\cos1^\circ-\sin1^\circ}{\cos1^\circ}\cdot\frac{\cos2^\circ-\sin2^\circ}{\cos2^\circ}}-2}}\\
\text{tg }\alpha=\frac{\sin1^\circ\sin2^\circ+\sin1^\circ\cos2^\circ+\cos1^\circ\sin2^\circ+\cos1^\circ\cos2^\circ-2\cos1^\circ\cos2^\circ}{\cos1^\circ\cos2^\circ-\sin2^\circ\cos1^\circ-\sin1^\circ\cos2^\circ+\sin1^\circ\sin2^\circ-2\cos1^\circ\cos2^\circ}\\
\text{tg }\alpha=\frac{\sin3^\circ-\cos3^\circ}{-\sin3^\circ-\cos3^\circ}=\frac{\sin87^\circ-\sin3^\circ}{\sin87^\circ+\sin3^\circ}=\frac{\cancel2\cancel{\cos45^\circ}\sin42^\circ}{\cancel2\cancel{\sin45^\circ}\cos42^\circ}\\
\left.\begin{array}{l}
\text{tg }\alpha=\text{tg }42^\circ\\
\alpha\in(0,90^\circ)
\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\ \enclose{box}{\alpha=42^\circ}[/dispmath]