MATEMANIJA

Data je jednacina [inlmath]\sin5x-\sin x+3\cos3x=0[/inlmath]. Zbir kvadrata najmanjeg pozitivnog i najveceg negativnog resenja te jednacine je ?

Sada mene zanima samo na koju foru ja ovo da svedem do oblika da mogu da dobijem resenja. Ja sam pokusao sa rastavljanjem
[dispmath]\sin5x=\sin\left(3x+2x\right)=\sin3x\cos2x+\cos3x\sin2x\\
\cos3x=\cos\left(2x+x\right)=\cos2x\cos x-\sin2x\sin x[/dispmath]
kad sve to lepo razlozim dobijam na nekom 10. koraku
[dispmath]2\sin x\cos x\Bigl(\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\cos x-2\sin^2x\cos x\Bigr)+\\
+\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\Bigl(2\sin x\cos^2x+\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\sin x\Bigr)-\sin x+3\Bigl(\cos x\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)\Bigr)=0[/dispmath]
Rekao bih da ne treba ovako da ide, zanima me samo na koju foru da krenem zadatak pa cu ja dovrsiti

[dispmath]\sin(5x)=5\sin x-20\sin^3x+16\sin^5x[/dispmath][dispmath]\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x[/dispmath]
Nisam uradio zadatak do kraja, tako da ne znam da li ces moci da se izboris sa ovim 5. i 3. stepenima, ali svejedno - probaj.
Izvodjenje za [inlmath]\sin(5x)[/inlmath] mozes naci ovde.

Mogla bi jednacina da se transformise u [inlmath]\cos3x\cdot(2\sin2x+3)=0[/inlmath].

Uradio sam zadatak, ne ide na tvoj nacin ali hvala
Prosto sam se setio sta da radim [inlmath]\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\;\sin5x-\sin x=2\cos\frac{5x+x}{2}\sin\frac{5x-x}{2}=2\cos3x\sin2x\\
\Rightarrow\;2\cos3x\sin2x+3\cos3x=\cos3x\left(2\sin2x+3\right)=0\\
\Rightarrow\;\cos3x=0\;\Rightarrow\;\cos t=0\;\Rightarrow\\
3x=\frac{\pi}{2}\;\Rightarrow\;x_1=\frac{\pi}{6},\;x_2=-\frac{\pi}{6}\\
3x=\frac{3\pi}{2}\;\Rightarrow\;x_1=\frac{\pi}{2},\;x_2=-\frac{\pi}{2}[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\;2\sin2x+3=0\\
2\sin2x=-3\\
\sin 2x=-\frac{3}{2}[/dispmath]
ovde nema resenja jer je [inlmath]\sin\theta\in\left[-1,1\right][/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\;\left(\frac{\pi }{6}\right)^2+\left(-\frac{\pi }{6}\right)^2=\frac{2\pi^2}{36}=\frac{\pi^2}{18}[/dispmath]

Herien Wolf je napisao:[dispmath]\Rightarrow\;\cos3x=0\;\Rightarrow\;\cos t=0\;\Rightarrow\\
3x=\frac{\pi}{2}\;\Rightarrow\;x_1=\frac{\pi}{6},\;x_2=-\frac{\pi}{6}\\
3x=\frac{3\pi}{2}\;\Rightarrow\;x_1=\frac{\pi}{2},\;x_2=-\frac{\pi}{2}[/dispmath]

Ovde nije baš najjasnije kako si dobio negativna rešenja, [inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath].

Ja bih preporučio malo „školskiji“ način:
[dispmath]\cos3x=0\;\Rightarrow\;3x=\frac{\pi}{2}+k\pi\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},\;k\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Najmanje pozitivno rešenje se dobije za [inlmath]k=0[/inlmath]:
[dispmath]k=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}[/dispmath]
Najveće negativno rešenje se dobije za [inlmath]k=-1[/inlmath]:
[dispmath]k=-1\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\;\Rightarrow\;x=-\frac{\pi}{6}[/dispmath]

[inlmath]\cos t=\cos\left(-t\right)[/inlmath] iz ovoga