MATEMANIJA

U nekoliko tema nalazi se izvodjenje adicionih formula, formula za dupli ugao, za polovinu ugla... U svima se koriste dve osnovne formule
[dispmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta\\
\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta[/dispmath]
One se mogu dokazati geometrijskim putem.


Prvo dokazujemo formulu [inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta[/inlmath]
Ako pogledamo sliku [inlmath]\angle BAC=\alpha[/inlmath], [inlmath]\angle DAB=\beta[/inlmath], [inlmath]\angle ABD=90^\circ[/inlmath] i [inlmath]\angle DEA=90^\circ[/inlmath], zatim ako primenimo pravilo:
Uglovi sa normalnim kracima su dva ugla čiji kraci leže na normalnim pravama. Ovi uglovi su jednaki
Odatle sledi [inlmath]\angle BDF=\alpha[/inlmath]
[inlmath]\displaystyle\sin x=\frac{\text{naspramna}}{\text{hipotenuza}}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\cos x=\frac{\text{nalegla}}{\text{hipotenuza}}[/inlmath]
Kada smo ovo uradili onda mozemo da pristupimo dokazivanju.
[dispmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\overline{DE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{DF}+\overline{FE}}{\overline{AD}}=\frac{\cos\alpha\cdot\overline{DB}}{\overline{AD}}+\frac{\overline{BC}}{\overline{AD}}\\
=\frac{\cos\alpha\cdot\sin\beta\cdot\overline{AD}}{\overline{AD}}+\frac{\sin\alpha\cdot\overline{AB}}{\overline{AD}}=\cos\alpha\cdot\sin\beta+\frac{\sin\alpha\cdot\cos\beta\cdot\overline{AD}}{\overline{AD}}\\
\Rightarrow\;\sin\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta[/dispmath]
Sa iste slike se moze dokazati i formula [inlmath]\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta[/inlmath]
[dispmath]\cos\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{AC}-\overline{EC}}{\overline{AD}}=\frac{\cos\alpha\cdot\overline{AB}}{\overline{AD}}-\frac{\overline{FB}}{\overline{AD}}\\
=\frac{\cos\alpha\cdot\cos\beta\cdot\overline{AD}}{\overline{AD}}-\frac{\sin\alpha\cdot\overline{DB}}{\overline{AD}}=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\frac{\sin\alpha\cdot\sin\beta\cdot\overline{AD}}{\overline{AD}}\\
\Rightarrow\;\cos\left(\alpha+\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta[/dispmath]

Hm, ne znam da l' si video da su u ovom postu upravo i izvedene adicione formule na taj isti (geometrijski) način?
Al' svejedno, dadoh ti thanks za ovoliki trud.

Jedan od nacina (mozda je i pokazivan na nekoj od linkovanih tema, samo sam brzo preleteo pogledom preko tih tema) je i preko Ojlerove formule. Naime, iz
[dispmath]\begin{align}
e^{i(a+b)} &= \cos(a+b)+i\sin(a+b)\\
e^{i(a+b)} &= e^{ia}e^{ib}=(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+i(\sin a\cos b+\cos a\sin b),
\end{align}[/dispmath]
odnosno
[dispmath]\cos(a+b)+i\sin(a+b)=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+i(\sin a\cos b+\cos a\sin b)[/dispmath]
Izjednacavanjem realnog i imaginarnog dela odmah dobijamo
[dispmath]\begin{align}
\cos(a+b) &= \cos a\cos b-\sin a\sin b\\
\sin(a+b) &= \sin a\cos b+\cos a\sin b
\end{align}[/dispmath]
Ovaj metod mi se cini dosta pogodnim za lako pamcenje izvodjenja samih formula. Naravno, jedna mana moze biti ta sto se Ojlerova formula ne uci u osnovnoj skoli, ali valjda se tada i ne uce trigonometrijske funkcije.

Moavrova fomula se uci u trecem razredu srednje cak i u srednjim strcnim skolama. Ono sto je po meni bizarno je sto se ne spominje Ojlerova formula(uz Moavrovu) uopste ko da nastavnike matematike mrzi da dodaju to jedno jednako [inlmath]e[/inlmath] na [inlmath]ix[/inlmath]. Nama nastavnica u gimnaziji uopste nije spomenula Ojlerovu formulu. Po meni ako nista treba je spomenuti cisto eto zbog toga sto je jedna od najinteresantnijiih stvari u matematici uz Ojlerov identitet koji nastaje iz nje.
Inace evo jednog izvodjenja iste koje elementarno ali i ne sasvim korektno, ovo izvodjenje je taman za ucenike 4 razreda gimnazije koji uce integrale u drugom polugodistu:
[dispmath]E(x)=\cos(x)+i\cdot\sin(x)\\
E'(x)=-\sin(x)+i\cdot\cos(x)\\
E'(x)=i\cdot\left(-\frac{\sin(x)}{i}+\cos(x)\right)\\
E'(x)=i\cdot\bigl(i\cdot\sin(x)+\cos(x)\bigr)\\
E'(x)=i\cdot E(x)\\
\frac{E'(x)}{E(x)}=i[/dispmath]
Sada integralimo obe strane:
[dispmath]\int\frac{E'(x)}{E(x)}\mathrm{d}x=\int i\mathrm{d}x\\
\int\frac{E'(x)}{E(x)}\mathrm{d}x=i\cdot\int\mathrm{d}x\\
\ln\bigl(E(x)\bigr)=i\cdot x+C\\
E(x)=e^{i\cdot x+C}\\
\cos(x)+i\cdot\sin(x)=e^{i\cdot x+C}[/dispmath]
Sada ubacimo [inlmath]x=0[/inlmath] da bi smo dobili [inlmath]C[/inlmath].
[dispmath]\cos(0)+i\cdot\sin(0)=e^C\\
1=e^C\;\Rightarrow\;C=0\\
\cos(x)+i\cdot\sin(x)=e^{i\cdot x}[/dispmath]
Ono sto je ovde problematicno je sto imamo integrale sa kompleksnim brojevima pa nije sve dokazano i definisano, ali to ne rade ni za ove "obicne" vec odmah daju pravila i cepaju zadatke, tako da mislim da bi ovo trebalo ovako pokazati. Normalno ova formula se izvodi preko Tejlorovog reda za eksponencijalnu funkciju ali to vec nije pristup za srednju skolu.

Trougao je napisao:Moavrova fomula se uci u trecem razredu srednje cak i u srednjim strcnim skolama.

Evo gotovo skoro prvo polugodiste IV godine gimnazija jos uvek pomenuli nismo Dok naprimer integrale radimo vec mesec dana dok npr ostali ih jos verovatno ni poceli nisu Sada je skolstvo blagi uzas tako da je sve moguce

Pa ja sam gimnaziju ove godine zavrsio nije moglo da se raspadne toliko pa moavrovu formulu smo radili na kraju treceg ona je na kraju krajeva u planu i programu.