MATEMANIJA

Treba mi pomoć oko sledećeg zadatka:
Dokazati da važi nejednakost ako je [inlmath]\sin x\cdot\cos x[/inlmath] različito od nule
[dispmath]{1\over\sin^4x}+{1\over\cos^4x}\ge8[/dispmath]
Ja sam krenula ovim putem. Prvo sam obe strane nejednakosti pomnožila sa [inlmath]\sin^4x\cos^4x[/inlmath], malo transformisala levu stranu i tu stala
[dispmath]1-2\cos^2x\sin^2x\ge8\sin^4x\cos^4x[/dispmath]
Da li sam u pravu ako napišem da je [inlmath]2\cos^2x\sin^2x={1\over2}\sin^22x[/inlmath], i da li bi tom transformacijom nešto dobila? Što se tiče množenja obe strane nejednakosti, uradila sam to zbog činjenice da je proizvod kosinusa i sinusa različit od nule, a kako je četvrti stepen sigurno je i pozitivan.

jagodica bobica je napisao:Da li sam u pravu ako napišem da je [inlmath]2\cos^2x\sin^2x={1\over2}\sin^22x[/inlmath], i da li bi tom transformacijom nešto dobila?

Sasvim si u pravu, upravo se tim putem i stiže do rešenja.

jagodica bobica je napisao:Što se tiče množenja obe strane nejednakosti, uradila sam to zbog činjenice da je proizvod kosinusa i sinusa različit od nule, a kako je četvrti stepen sigurno je i pozitivan.

Takođe, sasvim ispravno razmišljanje.

Dakle, levu stranu transformišeš tako kako si i napisala, dok desnu možeš napisati kao [inlmath]\frac{1}{2}\cdot16\sin^4x\cos^4x=\frac{1}{2}\left(2\sin x\cos x\right)^4=\frac{1}{2}\sin^42x[/inlmath].
Zatim uvedi smenu [inlmath]\sin^22x=t[/inlmath], a pošto se [inlmath]\sin^22x[/inlmath] nalazi u intervalu [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath], takođe će se i [inlmath]t[/inlmath] nalaziti u tom intervalu.
Sad to malo sredi i dobićeš kvadratnu funkciju po [inlmath]t[/inlmath]. Posmatraj za koje vrednosti [inlmath]t[/inlmath] je ta funkcija pozitivna a za koje negativna, i uporedi to s intervalom kojem [inlmath]t[/inlmath] mora da pripada...

Hvala puno, upravo tako sam i transformala desnu stranu. Sad mi samo nije jasno kako mi dalje smena nije pala na pamet