MATEMANIJA

Radio sam neki zadatak o izracunavanju visine kupe najmanje zapremine opisane oko sfere poluprecnika [inlmath]R[/inlmath]. Izrazim visinu kupe [inlmath]H[/inlmath] preko poluprecnika sfere [inlmath]R[/inlmath], zamenim to u formulu za zapreminu kupe, dobijem koliko je ta zapremina u funkciji od [inlmath]R[/inlmath]:
[dispmath]V_K=\frac{\pi}{3}R^3\frac{(1+\sin\alpha)^3}{\sin\alpha\cos^2\alpha}[/dispmath]
Sad, naravno, trazim izvod zapremine kupe, koji ce biti:
[dispmath]V'_K=\frac{\pi}{3}R^3\frac{(1+\sin\alpha)^2\cos\alpha\Bigl(3\sin\alpha\cos^2\alpha-(1+\sin\alpha)\left(\cos^3\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha\right)\Bigr)}{\sin^2\alpha\cos^4\alpha}[/dispmath]
E sad, posto mi je visina kupe u funkciji od [inlmath]R[/inlmath], sve se svodi na to da izracunam [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] iz prvog izvoda, jer je:
[dispmath]H=R\left(1+\frac{1}{\sin\alpha}\right)[/dispmath]

---

E sad problem imam kod izjednacavanja izvoda sa nulom, tj. kod resavanja trigonometrijske jednacine:
[dispmath](1+\sin\alpha)^2\cos\alpha\left(3\sin\alpha\cos^2\alpha-(1+\sin\alpha)(\cos^3\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha)\right)=0[/dispmath]
sto bi trebalo da se svede na:
[dispmath]\sin\alpha=-1\quad\lor\quad\cos\alpha=0\quad\lor\quad3\sin\alpha\cos^2\alpha-(1+\sin\alpha)(\cos^3\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha)=0[/dispmath]
Prva dva slucaja ce otpasti, jer je [inlmath]\alpha[/inlmath] u zadatku ostar ugao. Stoga, ovo se svodi na:
[dispmath]3\sin\alpha\cos^2\alpha-(1+\sin\alpha)\left(\cos^3\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha\right)=0[/dispmath]
Nakon sto ovo sredim, jednacinu svedem na
[dispmath](1+\sin\alpha)(2\text{tg}^2\alpha-1)=0\\
\sin\alpha=-1\quad\lor\quad\text{tg}^2\alpha=\frac{1}{2}[/dispmath]
Prvi slucaj opet otpada, jer je [inlmath]\alpha[/inlmath] ostar ugao, pa ostaje samo:
[dispmath]\text{tg}^2\alpha=\frac{1}{2}[/dispmath]
I sad npr. ne mogu da izracunam sinus preko tangensa:
[dispmath]\sin2\alpha=\frac{2\text{tg }\alpha}{1+\text{tg}^2\alpha}[/dispmath]
jer ce mi se pojaviti i [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] kasnije. Za resenje se dobije [inlmath]\sin\alpha=\frac{1}{3}[/inlmath].

---

Medjutim, u resenju koje imam, kazu da pocetnu jednacinu (iz prvog izvoda) mozemo svesti na [inlmath]3\sin^2\alpha+2\sin\alpha-1=0[/inlmath], ali ja ne uvidjam kako bi to moglo da se svede (sto bi bilo odlicno, jer deluje dosta jednostavnije od ovog mog postupka i resenje [inlmath]\sin\alpha=\frac{1}{3}[/inlmath] dobije se veoma lako).

Vidim sad da sam mogao uzeti drugu formulu za sinus preko tangensa (gde necu imati dvostruki ugao). Ali, opet ne dobijem tacno resenje. Moracu da proverim jednacinu ponovo.

Prvo, naglasimo da ugao [inlmath]\alpha[/inlmath] predstavlja ugao između visine i izvodnice kupe, kako ne bi bilo zabune.

Drugo, imaš grešku u određivanju izvoda:

Ilija je napisao:Sad, naravno, trazim izvod zapremine kupe, koji ce biti:
[dispmath]V'_K=\frac{\pi}{3}R^3\frac{\left(1+\sin\alpha\right)^2\cos\alpha\Bigl(3\sin\alpha\cos^2\alpha-\left(1+\sin\alpha\right)\left(\cos^3\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha\right)\Bigr)}{\sin^2\alpha\cos^4\alpha}[/dispmath]

U brojiocu si ispred zagrade izvukao [inlmath]\cos\alpha[/inlmath], ali si zaboravio da i drugi sabirak unutar zagrade podeliš sa [inlmath]\cos\alpha[/inlmath]. Dakle, treba da bude:
[dispmath]V'_K=\frac{\pi}{3}R^3\frac{\left(1+\sin\alpha\right)^2\cos\alpha\Bigl(3\sin\alpha\cos^2\alpha-\left(1+\sin\alpha\right)\left(\cos^2\alpha-2\sin^2\alpha\right)\Bigr)}{\sin^2\alpha\cos^4\alpha}[/dispmath]
a pošto [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] ne može biti [inlmath]0[/inlmath] (jer [inlmath]\alpha[/inlmath] mora biti oštar ugao), tada možemo i brojilac i imenilac podeliti sa [inlmath]\cos\alpha[/inlmath], nakon čega ostaje:
[dispmath]V'_K=\frac{\pi}{3}R^3\frac{\left(1+\sin\alpha\right)^2\Bigl(3\sin\alpha\cos^2\alpha-\left(1+\sin\alpha\right)\left(\cos^2\alpha-2\sin^2\alpha\right)\Bigr)}{\sin^2\alpha\cos^3\alpha}[/dispmath]
Pri izjednačavanju prvog izvoda s nulom, faktor [inlmath]\left(1+\sin\alpha\right)^2[/inlmath] možemo zanemariti, jer on ne može biti [inlmath]0[/inlmath] (takođe zato što je [inlmath]\alpha[/inlmath] oštar ugao), tako da se jednačina svodi na
[dispmath]3\sin\alpha\cos^2\alpha-\left(1+\sin\alpha\right)\left(\cos^2\alpha-2\sin^2\alpha\right)=0[/dispmath]
Radi lakšeg zapisivanja, uvešćemo smenu [inlmath]\sin\alpha=t[/inlmath], pri čemu je [inlmath]\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-t^2[/inlmath]:
[dispmath]3t\left(1-t^2\right)-\left(1+t\right)\left(1-t^2-2t^2\right)=0\\
3t\left(1+t\right)\left(1-t\right)-\left(1+t\right)\left(1-3t^2\right)=0\\
\left(1+t\right)\left[3t\left(1-t\right)-\left(1-3t^2\right)\right]=0[/dispmath]
Faktor [inlmath]\left(1+t\right)[/inlmath] ne razmatramo, budući da on ne može biti nula, tako da se jednačina svodi na
[dispmath]3t-\cancel{3t^2}-1+\cancel{3t^2}=0\\
3t-1=0[/dispmath]
odakle se, naravno, dobije [inlmath]\sin\alpha=\frac{1}{3}[/inlmath].
Dakle, ovime smo dobili još jednostavniji oblik od tog [inlmath]3\sin^2\alpha+2\sin\alpha-1=0[/inlmath] koji si napisao, jer smo eliminisali faktor [inlmath]\left(1+t\right)[/inlmath]. Da smo množili tim faktorom, imali bismo [inlmath]\left(1+t\right)\left(3t-1\right)=0[/inlmath] što, kad se izmnoži, daje [inlmath]3t^2+2t-1=0[/inlmath], što je upravo ekvivalentno jednačini koju si napisao.


I, treće, da li je u zadataku striktno rečeno da se mora raditi preko trigonometrije? Meni ovo izgleda mnogo jednostavnije ako se radi geometrijskim putem...

Strasno na kakvoj gluposti sam pogresio. xD

Sto se tice zadatka, nacin rada nije odredjen.

Proveri, čisto radi vežbe, i ovaj korak (mada te to svakako neće dovesti do tačnog rezulteta budući da se greška desila još ranije),

Ilija je napisao:[dispmath]3\sin\alpha\cos^2\alpha-(1+\sin\alpha)\left(\cos^3\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha\right)=0[/dispmath]
Nakon sto ovo sredim, jednacinu svedem na
[dispmath](1+\sin\alpha)(2\text{tg}^2\alpha-1)=0[/dispmath]

mislim da i tu imaš grešku. Proveri.

---

Preporučujem ti, takođe vežbe radi, da uradiš i preko geometrije (ako već nisi). Poluprečnik osnove kupe [inlmath]r[/inlmath] izraziš preko njene visine [inlmath]H[/inlmath], pri čemu dobiješ [inlmath]\displaystyle r^2=\frac{R^2H}{H-2R}[/inlmath].
Izjednačiš izvod zapremine kupe s nulom i dobićeš [inlmath]H=4R[/inlmath] (što inače direktno sledi i iz [inlmath]\displaystyle\sin\alpha=\frac{1}{3}[/inlmath]).

Daniel je napisao:Preporučujem ti, takođe vežbe radi, da uradiš i preko geometrije (ako već nisi).

Krenuo sam da radim zadatak preko geometrije, uz sledecu skicu:


E sad, jedino kako ja uvidjam da mogu izraziti [inlmath]r[/inlmath] preko [inlmath]H[/inlmath] jeste preko slicnosti sledecih trouglova:


Medjutim nikako mi ne uspeva da dobijem ovo Danielovo [inlmath]\displaystyle r^2=\frac{R^2H}{H-2R}[/inlmath]. Da li to moze ovako, ili opet negde gresim?

---

Daniel je napisao:Proveri, čisto radi vežbe, i ovaj korak...[dispmath]3\sin\alpha\cos^2\alpha-(1+\sin\alpha)\left(\cos^3\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha\right)=0\\(1+\sin\alpha)(2\text{tg}^2\alpha-1)=0[/dispmath]

Da, napravio sam gresku ovde. Mojim nacinom sredjivanja trebalo je da se dobije jednacina [inlmath]3\text{tg }\alpha+(1+\sin\alpha)\left(2\text{tg}^2\alpha-1\right)=0[/inlmath], a ne jednacina koju sam napisao.

Ilija je napisao:Medjutim nikako mi ne uspeva da dobijem ovo Danielovo [inlmath]\displaystyle r^2=\frac{R^2H}{H-2R}[/inlmath]. Da li to moze ovako, ili opet negde gresim?

Upravo tako sam i ja radio, preko sličnosti ta dva trougla koja si i ti uočio. Iz njihove sličnosti sledi [inlmath]\left(H-R\right):R=s:r[/inlmath], pri čemu [inlmath]s[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\sqrt{H^2+r^2}[/inlmath]...

Ilija je napisao:

Daniel je napisao:Proveri, čisto radi vežbe, i ovaj korak...[dispmath]3\sin\alpha\cos^2\alpha-(1+\sin\alpha)\left(\cos^3\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha\right)=0\\(1+\sin\alpha)(2\text{tg}^2\alpha-1)=0[/dispmath]

Da, napravio sam gresku ovde. Mojim nacinom sredjivanja trebalo je da se dobije jednacina [inlmath]3\text{tg }\alpha+(1+\sin\alpha)\left(2\text{tg}^2\alpha-1\right)=0[/inlmath], a ne jednacina koju sam napisao.

Zapravo, tu i nema nikakvog ozbiljnijeg sređivanja, samo se jednačina podeli sa [inlmath]\cos^3\alpha[/inlmath], je l' da...

Daniel je napisao:Upravo tako sam i ja radio, preko sličnosti ta dva trougla koja si i ti uočio. Iz njihove sličnosti sledi [inlmath]\left(H-R\right):R=s:r[/inlmath], pri čemu [inlmath]s[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\sqrt{H^2+r^2}[/inlmath]...

Ocigledno onda gresim negde u sredjivanju ovoga. Pogledacu jos jednom.

Daniel je napisao: Zapravo, tu i nema nikakvog ozbiljnijeg sređivanja, samo se jednačina podeli sa [inlmath]\cos^3\alpha[/inlmath], je l' da...

Da, to je generalno bilo 'sredjivanje' kod ove jednacine.

Uspeo sam da resim.