MATEMANIJA

[dispmath]\sin^4x+\cos^4x=\left(\cos^2x\right)^2-2\cos^2x\sin^2x+\left(\sin^2x\right)^2+2\cos^2x\sin^2x=\\
=\cos^22x+\frac{4\cos^2x\sin^2x}{2}=\cos^22x+\frac{\sin^22x}{2}=\frac{2\cos^22x+\sin^22x}{2}=\frac{\cos^22x+1}{2}[/dispmath]
Tacno resenje je [inlmath]\displaystyle\frac{3+\cos4x}{4}[/inlmath]
Mene zanima da li moze iz mog pokusaja (naravno ako je tacan) da se dodje do tacnog resenja, ako ne moze li neki trag kako doci. Ne treba mi uradjen zadatak nego taj "mali" korak

[dispmath]\cos^22x=\frac{1+\cos4x}{2}[/dispmath]

Sve je ovo ok. No nije loše napomenuti:
[dispmath]a^4-b^4=\left(a^2-b^2\right)\cdot\left(a^2+b^2\right)[/dispmath]
U trigonometriji se često koristi baš ovo:
[dispmath]\sin^4x-\cos^4x=\left(\sin^2x-\cos^2x\right)\cdot\left(\sin^2x+\cos^2x\right)=\sin^2x-\cos^2x[/dispmath]

Ovde je u pitanju zbir. Ali svakako je korisno napomenuti ovo.

Wolfe, msm da je za nijansu jednostavnije ako [inlmath]\sin^4x+\cos^4x[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x\cos^2x[/inlmath], umesto kao [inlmath]\left(\cos^2x-\sin^2x\right)^2+2\sin^2x\cos^2x[/inlmath]:
[dispmath]\sin^4x+\cos^4x=\underbrace{\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2}_1-2\sin^2x\cos^2x=1-\frac{1}{2}\cdot4\sin^2x\cos^2x=1-\frac{1}{2}\sin^22x=[/dispmath]
pa onda primena formule za sinus polovine ugla, [inlmath]\displaystyle\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}[/inlmath],
[dispmath]=1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\cos4x}{2}=\frac{3+\cos4x}{4}[/dispmath]

opet daniel brži , pa da se ne ponavljamo
a Wolfe pamti ta dva izraza što su ti rekli ako upisuješ fakultet, trebaju za integrale , a oba se mogu direktno izvesti iz osnovnog trigonometrijskog identiteta, ako treba nekom kako se izvode nek se javi

Njihovo izvođenje je već pokazano, ovde.

Inače, ovaj zadatak je moguće uraditi i samo korišćenjem tih formula za sinus i kosinus polovine ugla. Možda su prethodno pokazani postupci malo elegantniji, ali je zato ovaj, da tako kažem, rutinskiji:
[dispmath]\sin^4x+\cos^4x=\left(\sin^2x\right)^2+\left(\cos^2x\right)^2=\left(\frac{1-\cos2x}{2}\right)^2+\left(\frac{1+\cos2x}{2}\right)^2=\\
=\frac{1-\cancel{2\cos2x}+\cos^22x+1+\cancel{2\cos2x}+\cos^22x}{4}=\frac{\cancel2\left(1+\cos^22x\right)}{\cancel4^2}=\frac{1+\frac{1+\cos4x}{2}}{2}=\frac{3+\cos4x}{4}[/dispmath]