MATEMANIJA

Dakle
Broj resenja jednacine [inlmath]\cos2x=0[/inlmath] u intervalu [inlmath][20,50][/inlmath]
i sad
[dispmath]\cos2x=0[/dispmath][dispmath]2x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi(2x+1)}{4}[/dispmath]
i ajmo sad da odredimo interval

U poslednjem redu bi trebalo da stoji:
[dispmath]x=\frac{\pi(2k+1)}{4}[/dispmath]
E sad, ako je [inlmath]x=50[/inlmath], onda je [inlmath]k=31,33098862[/inlmath] ([inlmath]\pi=3,141592654[/inlmath]), a ako je [inlmath]x=20[/inlmath], onda je [inlmath]k=12,23239545[/inlmath]. Dakle, resenja za [inlmath]k[/inlmath] su sva celobrojna resenja od prvog do drugog [inlmath]k[/inlmath], tj. brojevi od [inlmath]13[/inlmath] do [inlmath]31[/inlmath], sto znaci da ima [inlmath]19[/inlmath] resenja.

Imam samo jedno pitanje, da li je zadati interval u stepenima ?
+John imas gresku ovde [inlmath]\displaystyle x=\frac{\pi(2x+1)}{4}[/inlmath]
[dispmath]2x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\
2x=\frac{\pi+2k\pi}{2}\\
x=\frac{\pi\left(1+2k\right)}{4}[/dispmath]

Herien Wolf je napisao:Imam samo jedno pitanje, da li je zadati interval u stepenima ?

Kada je vrednost ugla izražena u stepenima, onda obavezno mora da stoji oznaka za stepen ([inlmath]^\circ[/inlmath]).
Dakle, ako te oznake nema, onda je sasvim sigurno da je vrednost tog ugla izražena u radijanima.
I to nema nikakve veze s time da li u tom izrazu figuriše ili ne figuriše broj [inlmath]\pi[/inlmath].

Da li ovo moze da se resi drugacije, npr:
[dispmath]\cos2x=0[/dispmath][dispmath]\cos^2x-\sin^2x=0\\
\cos^2x=\sin^2x[/dispmath][dispmath]\cos^2x=\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{2}-x+2k\pi[/dispmath][dispmath]2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad x_2=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath]
Sto se moze svesti na
[dispmath]x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath][dispmath]20\le\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\le50[/dispmath]
Posto je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj [dispmath]k\in[13,31][/dispmath]

Prilično zakomplikovan postupak, a i ovaj deo mi je problematičan:

kad je napisao:[dispmath]\cos^2x=\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{2}-x+2k\pi[/dispmath]

Kad imamo [inlmath]\cos\alpha=\cos\beta[/inlmath], tada iz toga ne sledi samo da je [inlmath]\alpha=\beta+2k\pi[/inlmath], već i da je [inlmath]\alpha=-\beta+2k\pi[/inlmath] (zamisli trigonometrijsku kružnicu).
Uz to, ovde imamo kvadrate kosinusa, tako da je potrebno razmatrati dva slučaja:
[inlmath]1^\circ\quad\cos x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\\
2^\circ\quad\cos x=-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos\left[\pi-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right]=\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)[/inlmath]

Međutim, ovde si,

kad je napisao:[dispmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad x_2=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath]

na neki meni nejasan način, odjednom dobio i taj drugi skup rešenja, [inlmath]x_2=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath], koji bi inače dobio da si uzeo u obzir ono što sam malopre napisao.


Po meni, ipak, najjednostavnije:
[dispmath]\cos2x=0\quad\Rightarrow\quad2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath]

Daniel je napisao:Međutim, ovde si,

kad je napisao:[dispmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad x_2=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath]

na neki meni nejasan način, odjednom dobio i taj drugi skup rešenja, [inlmath]x_2=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath], koji bi inače dobio da si uzeo u obzir ono što sam malopre napisao.

Zato sto se drugo resenje za [inlmath]\cos x[/inlmath] dobija sa [inlmath]-x[/inlmath] tj [inlmath]2\pi-x[/inlmath]

Opet mi nije jasno, al' nema veze. Ako je tebi jasno, onda u redu.

Ono sto je ovde uradjeno

Daniel je napisao:Kad imamo [inlmath]\cos\alpha=\cos\beta[/inlmath], tada iz toga ne sledi samo da je [inlmath]\alpha=\beta+2k\pi[/inlmath], već i da je [inlmath]\alpha=-\beta+2k\pi[/inlmath] (zamisli trigonometrijsku kružnicu).

ja sam uradio na kraju resenja, jer jedno resenje za npr. [inlmath]\cos x=\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] je [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] a drugo to prvo sa - ispred [inlmath]-\frac{\pi}{4}[/inlmath]

OK onda.