MATEMANIJA

Dakle
Broj resenja jednacine [inlmath]\cos2x=0[/inlmath] u intervalu [inlmath][20,50][/inlmath]
i sad
[dispmath]\cos2x=0[/dispmath][dispmath]2x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi(2x+1)}{4}[/dispmath]
i ajmo sad da odredimo interval

U poslednjem redu bi trebalo da stoji:
[dispmath]x=\frac{\pi(2k+1)}{4}[/dispmath]
E sad, ako je [inlmath]x=50[/inlmath], onda je [inlmath]k=31,33098862[/inlmath] ([inlmath]\pi=3,141592654[/inlmath]), a ako je [inlmath]x=20[/inlmath], onda je [inlmath]k=12,23239545[/inlmath]. Dakle, resenja za [inlmath]k[/inlmath] su sva celobrojna resenja od prvog do drugog [inlmath]k[/inlmath], tj. brojevi od [inlmath]13[/inlmath] do [inlmath]31[/inlmath], sto znaci da ima [inlmath]19[/inlmath] resenja.

Imam samo jedno pitanje, da li je zadati interval u stepenima ?
+John imas gresku ovde [inlmath]\displaystyle x=\frac{\pi(2x+1)}{4}[/inlmath]
[dispmath]2x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\
2x=\frac{\pi+2k\pi}{2}\\
x=\frac{\pi\left(1+2k\right)}{4}[/dispmath]

Herien Wolf je napisao:Imam samo jedno pitanje, da li je zadati interval u stepenima ?

Kada je vrednost ugla izražena u stepenima, onda obavezno mora da stoji oznaka za stepen ([inlmath]^\circ[/inlmath]).
Dakle, ako te oznake nema, onda je sasvim sigurno da je vrednost tog ugla izražena u radijanima.
I to nema nikakve veze s time da li u tom izrazu figuriše ili ne figuriše broj [inlmath]\pi[/inlmath].

Da li ovo moze da se resi drugacije, npr:
[dispmath]\cos2x=0[/dispmath][dispmath]\cos^2x-\sin^2x=0\\
\cos^2x=\sin^2x[/dispmath][dispmath]\cos^2x=\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{2}-x+2k\pi[/dispmath][dispmath]2x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad x_2=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath]
Sto se moze svesti na
[dispmath]x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath][dispmath]20\le\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\le50[/dispmath]
Posto je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj [dispmath]k\in[13,31][/dispmath]

Prilično zakomplikovan postupak, a i ovaj deo mi je problematičan:

kad je napisao:[dispmath]\cos^2x=\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{2}-x+2k\pi[/dispmath]

Kad imamo [inlmath]\cos\alpha=\cos\beta[/inlmath], tada iz toga ne sledi samo da je [inlmath]\alpha=\beta+2k\pi[/inlmath], već i da je [inlmath]\alpha=-\beta+2k\pi[/inlmath] (zamisli trigonometrijsku kružnicu).
Uz to, ovde imamo kvadrate kosinusa, tako da je potrebno razmatrati dva slučaja:
[inlmath]1^\circ\quad\cos x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\\
2^\circ\quad\cos x=-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos\left[\pi-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right]=\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)[/inlmath]

Međutim, ovde si,

kad je napisao:[dispmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad x_2=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath]

na neki meni nejasan način, odjednom dobio i taj drugi skup rešenja, [inlmath]x_2=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath], koji bi inače dobio da si uzeo u obzir ono što sam malopre napisao.


Po meni, ipak, najjednostavnije:
[dispmath]\cos2x=0\quad\Rightarrow\quad2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath]

Daniel je napisao:Međutim, ovde si,

kad je napisao:[dispmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad x_2=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath]

na neki meni nejasan način, odjednom dobio i taj drugi skup rešenja, [inlmath]x_2=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath], koji bi inače dobio da si uzeo u obzir ono što sam malopre napisao.

Zato sto se drugo resenje za [inlmath]\cos x[/inlmath] dobija sa [inlmath]-x[/inlmath] tj [inlmath]2\pi-x[/inlmath]

Opet mi nije jasno, al' nema veze. Ako je tebi jasno, onda u redu.

Ono sto je ovde uradjeno

Daniel je napisao:Kad imamo [inlmath]\cos\alpha=\cos\beta[/inlmath], tada iz toga ne sledi samo da je [inlmath]\alpha=\beta+2k\pi[/inlmath], već i da je [inlmath]\alpha=-\beta+2k\pi[/inlmath] (zamisli trigonometrijsku kružnicu).

ja sam uradio na kraju resenja, jer jedno resenje za npr. [inlmath]\cos x=\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] je [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] a drugo to prvo sa - ispred [inlmath]-\frac{\pi}{4}[/inlmath]

OK onda.

Ja sam uradio tako sto sam resio jednacinu [inlmath]\cos2x=0[/inlmath] po [inlmath]\cos[/inlmath] i dobio 4 resenja:
[dispmath]x_1=\frac{\pi}{4}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{3\pi}{4}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{5\pi}{4}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{7\pi}{4}+2k\pi[/dispmath]
To je isto sto je i Daniel uradio.
I onda sam podelio [inlmath]\frac{20}{6.28}=3.18\ldots[/inlmath] i [inlmath]\frac{50}{6.28}=7.96\ldots[/inlmath] da bih video koliko je to celih krugova, jer cu da trazim koliko ce resenja da upadne u te krugove.
Onda sam podelio [inlmath]\frac{360}{45}=8[/inlmath] pa podelio [inlmath]\frac{100}{8}=12.5[/inlmath] da bih video koliko iza zareza zauzima [inlmath]45^\circ[/inlmath]
Onda sam gledao, ok u krugu
[inlmath]3.18[/inlmath] bice 3 resenja
[inlmath]4[/inlmath] bice 4 resenja
[inlmath]5[/inlmath] bice 4 resenja
[inlmath]6[/inlmath] bice 4 resenja
[inlmath]7.96[/inlmath] bice 3 resenja

Ukupno [inlmath]18[/inlmath]. Koliko je ovo dobro, ne znam

Pa, očigledno da nije dobro, čim si dobio [inlmath]18[/inlmath], a treba [inlmath]19[/inlmath].

Ovaj deo mi nikako nije jasan, šta si ovde pokušavao:

lowzyyy je napisao:Onda sam gledao, ok u krugu
[inlmath]3.18[/inlmath] bice 3 resenja
[inlmath]4[/inlmath] bice 4 resenja
[inlmath]5[/inlmath] bice 4 resenja
[inlmath]6[/inlmath] bice 4 resenja
[inlmath]7.96[/inlmath] bice 3 resenja

ali u principu osnovna ideja ti nije loša, i nešto bi se od toga moglo skarabudžiti. Znači, našao si da uglu od [inlmath]20[/inlmath] radijana odgovara [inlmath]\approx3,18[/inlmath] obrta po trigonometrijskoj kružnici. To nam je, po uslovu zadatka, donji limit za rešenja. Isto tako, gornji limit je [inlmath]\approx7,96[/inlmath] obrta.
Najmanje pozitivno rešenje, izraženo u obrtima kruga, iznosi [inlmath]0,125[/inlmath] (iliti jedna osmina obrta). Između svaka dva susedna rešenja razlika je [inlmath]0,25[/inlmath] obrta.
Rešenje na [inlmath]3,125[/inlmath] obrta još uvek neće pripadati traženom intervalu (biće ispod njega), ali prvo naredno rešenje, [inlmath]3,375[/inlmath] obrta, nalaziće se u tom intervalu i to će biti prvo (najmanje) rešenje koje uzimamo u obzir.
Najveće rešenje koje nam je od interesa biće na [inlmath]7,875[/inlmath] obrta, jer će već prvo naredno rešenje, [inlmath]8,125[/inlmath] obrta, izlaziti izvan datog intervala.
I onda prebrojimo ta rešenja,
[inlmath]\left.\begin{array}{l}
3,375\\
3,625\\
3,875
\end{array}\right\}\;3[/inlmath] rešenja
[inlmath]\left.\begin{array}{l}
4,125\\
4,375\\
4,625\\
4,875
\end{array}\right\}\;4[/inlmath] rešenja
[inlmath]\left.\begin{array}{l}
5,125\\
5,375\\
5,625\\
5,875
\end{array}\right\}\;4[/inlmath] rešenja
[inlmath]\left.\begin{array}{l}
6,125\\
6,375\\
6,625\\
6,875
\end{array}\right\}\;4[/inlmath] rešenja
[inlmath]\left.\begin{array}{l}
7,125\\
7,375\\
7,625\\
7,875
\end{array}\right\}\;4[/inlmath] rešenja
što ukupno daje [inlmath]19[/inlmath] rešenja.

Je l' to bila neka tvoja ideja?

(Naravno, mnogo je elegantnije rešenje koje je izloženo na samom početku ove teme i njega svakako preporučujem, ali nije na odmet uraditi zadatak na više načina.)

Da to je moje resenje. Pogresio sam za poslednje, bice ipak [inlmath]4[/inlmath]. Znaci resenje je [inlmath]19[/inlmath] ?

[inlmath]19[/inlmath], dabome. Rečeno je u drugom postu ove teme, promaklo ti je verovatno.

Daniel je napisao:Ovaj deo mi nikako nije jasan, šta si ovde pokušavao:

lowzyyy je napisao:Onda sam gledao, ok u krugu
[inlmath]3.18[/inlmath] bice 3 resenja
[inlmath]4[/inlmath] bice 4 resenja
[inlmath]5[/inlmath] bice 4 resenja
[inlmath]6[/inlmath] bice 4 resenja
[inlmath]7.96[/inlmath] bice 3 resenja

Pretpostavljam brojao koliko ima resenja u svakom od krugova.