MATEMANIJA

Pozz svima, treba mi pomoc u resavanju jednog zadatka.
Dati su brojevi [inlmath]a=\sin1[/inlmath], [inlmath]b=\sin2[/inlmath], [inlmath]c=\sin3[/inlmath], tada je: [inlmath]c<a<b[/inlmath].
Ako [inlmath]a[/inlmath] oduzmem od [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]a[/inlmath] od [inlmath]c[/inlmath] dobijem da je: [inlmath]a-b=-2\cos\frac{3}{2}\sin\frac{1}{2}[/inlmath], a [inlmath]a-c=-2\cos2\sin1[/inlmath], nije mi jasno zasto: [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] pripadaju prvom kvadrantu i zasto [inlmath]2[/inlmath] pripada drugom.

Ovdje su uglovi zadati u radijanima, da li ovdje treba utvrditi odnos između [inlmath]a,\,b,\,c[/inlmath] ili treba dokazati da je to tako

najbrže se riješi ako treba samo utvrditi odnos tako da se ovi uglovi pretvore iz radijana u stepen tako što se uzme da je [inlmath]1\text{ rad}=\sin\frac{180}{\pi}\approx57^\circ[/inlmath] i predstave na trigonometrijskoj kružnici

a stvarno ne vidim zašto si išla na taj način rješavati zadatak, a opet je odgovor jer su vrijednosti uglova u radijanima

Promenio sam naslov teme, kako bi bolje ukazivao na ono o čemu se u ovoj temi radi.

anna_ je napisao:nije mi jasno zasto: [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] pripadaju prvom kvadrantu i zasto [inlmath]2[/inlmath] pripada drugom.

Prvom kvadrantu pripadaju uglovi od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Pošto je [inlmath]\pi\approx3,14[/inlmath], to je [inlmath]\frac{\pi}{2}\approx1,57[/inlmath], što znači da prvom kvadrantu pripadaju uglovi od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1,57[/inlmath]:
[inlmath]0<\frac{3}{2}=1,5<1,57\;\Rightarrow\;[/inlmath] ugao [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] pripada prvom kvadrantu.
[inlmath]0<\frac{1}{2}=0,5<1,57\;\Rightarrow\;[/inlmath] ugao [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] pripada prvom kvadrantu.
[inlmath]0<1<1,57\;\Rightarrow\;[/inlmath] ugao [inlmath]1[/inlmath] pripada prvom kvadrantu.

Drugom kvadrantu pripadaju uglovi od [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] do [inlmath]\pi[/inlmath], to jest od [inlmath]1,57[/inlmath] do [inlmath]3,14[/inlmath]:
[inlmath]1,57<2<3,14\;\Rightarrow\;[/inlmath] ugao [inlmath]2[/inlmath] pripada drugom kvadrantu.

---

Može se uraditi i na način sličan Boletovom, ali bez pretvaranja u radijane.
Pre svega, uočimo da se sva tri posmatrana ugla ([inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath]) nalaze u intervalu [inlmath]\left(0;\;3,14\right)[/inlmath] (tj. u prvom i u drugom kvadrantu), u kojem je sinusna funkcija pozitivna. Znači, sva tri posmatrana sinusa biće pozitivna.
Primetimo, dalje, da funkcija [inlmath]\sin x[/inlmath] ima vrednost nula za [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=3,14[/inlmath], dok ima maksimalnu vrednost (jedinicu) za [inlmath]x=1,57[/inlmath]. Takođe, na intervalu [inlmath]\left(0;\;3,14\right)[/inlmath] sinusna funkcija je simetrična u odnosu na [inlmath]x=1,57[/inlmath].
Odatle vidimo da će od vrednosti [inlmath]x=1[/inlmath], [inlmath]x=2[/inlmath] i [inlmath]x=3[/inlmath] vrednost [inlmath]x=2[/inlmath] biti najbliža vrednosti [inlmath]x=1,57[/inlmath], u kojoj sinus ima maksimum. Odatle sledi da je [inlmath]\sin2[/inlmath] veće i od [inlmath]\sin1[/inlmath] i od [inlmath]\sin3[/inlmath].
Takođe, vrednost [inlmath]x[/inlmath] najbliža nekoj od vrednosti [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]3,14[/inlmath] (u kojima je sinus jednak nuli) jeste vrednost [inlmath]x=3[/inlmath]. Prema tome, [inlmath]\sin3[/inlmath] je manje i od [inlmath]\sin1[/inlmath] i od [inlmath]\sin2[/inlmath].
Dakle, [inlmath]\sin3<\sin1<\sin2[/inlmath].