MATEMANIJA

Najmanji realni broj [inlmath]a[/inlmath] za koji jednacina [inlmath]\cos^4x+\sin^4x=a[/inlmath] ima resenje jednak je?
[dispmath]\cos^4x+\sin^4x=1-\frac{1}{2}\sin^22x[/dispmath][dispmath]1-\frac{1}{2}\sin^22x=a[/dispmath][dispmath]1-\frac{1}{2}\sin^22x=0[/dispmath]
nema resenja i tako nagadjenjem dodjem do [inlmath]a=\frac{1}{2}[/inlmath]
Mora da postoji neki nacin kako da se utvrdi najmanji ali i najveci realni broj [inlmath]a[/inlmath]?

[dispmath]\cos^4x+\sin^4x=a\\
\cos^4x+\left(1-\cos^2x\right)^2=a\\
2\cos^4x-2\cos^2x+1=a\\\
\\\
\cos^2x=t\\\
\\\
2t^2-2t+1=a\\
2t^2-2t+1-a=0[/dispmath]
Sada, da bi jednacina imala realno resenje, uslov je [inlmath]D\ge0[/inlmath], iz cega sledi da je [inlmath]a\ge\frac{1}{2}[/inlmath]. Znaci najmanje [inlmath]a[/inlmath] za koje jednacina ima resenje je [inlmath]a=\frac{1}{2}[/inlmath].

nemoj izjednačavati sa [inlmath]0[/inlmath], ostavi
[dispmath]1-\frac{1}{2}\sin^22x=a[/dispmath]
sad primijeni
[dispmath]\sin^22x=\frac{1}{2}\left(1-\cos4x\right)[/dispmath]
i imaš
[dispmath]1-\frac{1}{4}\left(1-\cos4x\right)=a\\
\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\cos4x=a\\
3-\cos4x=4a[/dispmath]
a znamo da je [inlmath]-1\le\cos4x\le+1[/inlmath] uvrsti minimalnu i maksimalnu vrijednost za [inlmath]\cos4x[/inlmath] i dobićeš i minimum i maksimum
minimum je [inlmath]a=\frac{1}{2}[/inlmath], a maksimum [inlmath]a=1[/inlmath]

@bole, ovde imaš grešku,

bole je napisao:[dispmath]1-\frac{1}{4}\left(1-\cos4x\right)=a\\
\frac{3}{4}{\color{red}-}\frac{1}{4}\cos4x=a[/dispmath]

treba plus umesto minusa, tj.
[dispmath]\frac{3}{4}{\color{red}+}\frac{1}{4}\cos4x=a[/dispmath]
ali, ova greška nema uticaja na tačnost rešenja, budući da su moguće vrednosti kosinusa simetrično raspoređene u odnosu na nulu, tako da i s minusom i s plusom ispred kosinusa isto dođe.

---

A može i ovako. Kad smo došli do [inlmath]1-\frac{1}{2}\sin^22x=a[/inlmath], znamo da, pošto sinus može imati vrednosti u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath], to njegov kvadrat može imati vrednosti u intervalu [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath] (pretpostavljam da ovo nema potrebe posebno dokazivati), tako da sredimo jednačinu da na jednoj strani ostane samo kvadrat sinusa:
[dispmath]1-a=\frac{1}{2}\sin^22x[/dispmath]
i, pošto desna strana pripada intervalu [inlmath]\displaystyle\left[0,\frac{1}{2}\right][/inlmath], tom intervalu mora pripadati i leva strana, tj. [inlmath]1-a[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\displaystyle\left[0,\frac{1}{2}\right][/inlmath]:
[dispmath]0\le1-a\le\frac{1}{2}\\
-1\le-a\le-\frac{1}{2}\\
\enclose{box}{\frac{1}{2}\le a\le1}[/dispmath]