MATEMANIJA

Zanima me kako se kombinuju resenja trigonometrijskh jednacina (svode na jedno) - ako moze malo pojasnjenje?

Ono npr.:
[dispmath]\sin x=0 \\\ \\\ x_1=0+2k\pi\quad\land\quad x_2=\pi+2k\pi \\\ \\\ \Downarrow \\\ \\\ x=k\pi[/dispmath]
Ili jos, na primer:
[dispmath]\cos x=0 \\\ \\\ x_1=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\land\quad x_2=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \\\ \\\ \Downarrow \\\ \\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath]
Gledanjem na trigonometrijskoj kruznici ili nekim analitickim putem?

Rešenja najlakše kombinuješ posmatrajući ih na trigonometrijskoj kružnici. Bar je meni tako najlakše.

Može i analitički, ali, po meni, to bi bio malo teži način, a išô bi otprilike ovako:
[dispmath]\sin x=0\;\Rightarrow\;\left.\begin{array}{l}
x_1=2k\pi\\
x_2=\pi+2k\pi
\end{array}\right\}\;\Rightarrow\;\left.\begin{array}{l}
x_1=(2k)\pi\\
x_2=(2k+1)\pi
\end{array}\right\}[/dispmath]
pa pošto su [inlmath]2k[/inlmath] svi parni, a [inlmath]2k+1[/inlmath] svi neparni brojevi, zaključujemo da umesto [inlmath]2k[/inlmath] i [inlmath]2k+1[/inlmath] možemo staviti bilo koji ceo broj, tj. [inlmath]k[/inlmath], i onda to postaje [inlmath]x=k\pi[/inlmath].

Slično i za [inlmath]\cos x=0[/inlmath],
[dispmath]\cos x=0\;\Rightarrow\;\left.\begin{array}{l}
x_1=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\
x_2=-\frac{\pi}{2}+2k\pi
\end{array}\right\}\;\Rightarrow\;\left.\begin{array}{l}
x_1=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\
x_2=\frac{\pi}{2}-\pi+2k\pi\\
\end{array}\right\}\;\Rightarrow\;\left.\begin{array}{l}
x_1=\frac{\pi}{2}+(2k)\pi\\
x_2=\frac{\pi}{2}+(2k-1)\pi\\
\end{array}\right\}[/dispmath]
pa onda to [inlmath]2k[/inlmath] i [inlmath]2k-1[/inlmath] objedinimo u [inlmath]k[/inlmath] i to bude [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath].

No, opet kažem, preporučujem ovladavanje trigonometrijskom kružnicom, ume da uštedi dosta vremena.