MATEMANIJA

Čemu je jednako:
1)
[dispmath]\sin\left(2\text{arctg }a\right)[/dispmath]
2)
[dispmath]\text{tg}\left(\arcsin\frac{2}{3}+\arccos\frac{2}{7}\right)[/dispmath]
Kako se računa arkus tg/sin/cos ?

Oba primera se rade na isti nacin, a to je da se uvedu smene, npr. [inlmath]\text{arctg }\!\:\!\:\!a=x[/inlmath] (cime je [inlmath]a=\text{tg }\!\:\!\:\!x[/inlmath]), [inlmath]\displaystyle\arcsin\frac{2}{3}=\alpha[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\arccos\frac{2}{7}=\beta[/inlmath] i onda se iskoristi [inlmath]\sin(2x)=2\sin x\cos x[/inlmath], odnosno adiciona formula za [inlmath]\text{tg }\!\:\!(\alpha+\beta)[/inlmath]. Recimo za pod 1) to bi izgledalo:
[dispmath]\sin(2\,\text{arctg }\!\:\!\:\!a)=\sin(2x)=2\sin x\cos x=2\,\text{tg }\!\:\!\:\!x\cos^2x=2\,\text{tg }\!\:\!\:\!x\,\frac{\cos^2x}{\sin^2x+\cos^2x}=2\,\text{tg }\!\:\!\:\!x\,\frac{1}{\text{tg}^2\,x+1}=\frac{2a}{a^2+1}.[/dispmath]
Naravno, ovo poslednje namestanje sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] je zapravo izvodjenje poznate formule [inlmath]\displaystyle\cos x=\pm\frac{1}{\sqrt{\text{tg}^2\,x+1}}[/inlmath]. Za 2) pokusaj sam.

@hugo, molim te da se pridržavaš tačke 6. Pravilnika.

O vezi sinusa dvostrukog ugla i tangensa bilo je ranije reči ovde i ovde.

Što se tiče zadatka pod 2), biće ti od pomoći ova tema.