MATEMANIJA

Opet ja sa adicionim Zadatak je da se odredi [inlmath]\cos\frac{\alpha}{2}[/inlmath] ako je [inlmath]\sin\alpha=-\frac{4\sqrt2}{9}[/inlmath] a [inlmath]\alpha\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath]. Treba mi pomoć oko dovršavanja (i da li sam tačno odradio ovo prethodno).
[dispmath]\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha=1\\
\left(-\frac{4\sqrt2}{9}\right)^2\cdot\cos^2\alpha=1\\
\cos^2\alpha=1-\frac{16\cdot2}{81}=\frac{81}{81}-\frac{32}{81}=\frac{49}{81}\\
\cos\alpha=\sqrt{\frac{49}{81}}=\frac{7}{9}\\
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{9}}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{9}{9}+\frac{7}{9}}{2}}\\
\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{\frac{16}{9}}{\frac{2}{1}}}=\sqrt{\frac{16}{18}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt2}{3}[/dispmath]

Greska se nalazi na samom pocetku zadatka u formuli

nikola011 je napisao:[inlmath]\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha=1[/inlmath]

Ovo je ispravna formula [inlmath]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/inlmath]
Dokaz:



[inlmath]a[/inlmath] naspramna stranica
[inlmath]b[/inlmath] nalegla stranica
[inlmath]c[/inlmath] hipotenuza

[inlmath]\displaystyle\sin\alpha=\frac{a}{c},\quad\cos\alpha=\frac{b}{c}[/inlmath]

[inlmath]\displaystyle\Rightarrow\quad\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1[/inlmath]
[inlmath]a^2+b^2=c^2[/inlmath] Pitagorina teorema

Ako uzmemo da je [inlmath]\alpha=\frac{\pi }{2}[/inlmath]

[inlmath]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\quad\Rightarrow\quad1^2+0^2=1[/inlmath]
[inlmath]\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha=1\quad\Rightarrow\quad1^2\cdot0^2=1[/inlmath]

Probaj sad sa ispravnom formulom, ako ne bude islo onda cemo zajedno da radimo

U pravu si, ja napisah puta, a posle oduzimao ... Čini mi se da sam dalje nastavio kako treba, zar ne?

Da, koliko ja vidim nastavak je dobar osim znaka, resenje se nalazi u trecem kvadrantu, tada je kosinus negativan [inlmath]\cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{2\sqrt2}{3}[/inlmath]

Ne, Wolfe, pazi, u trećem kvadrantu nije ugao [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath], već ugao [inlmath]\alpha[/inlmath].
Samim tim, ugao [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath] je na „prvoj polovini“ (da se tako izrazim) drugog kvadranta.
Mada, u svakom slučaju, [inlmath]\cos\alpha[/inlmath] je manji od nule i [inlmath]\cos\frac{\alpha}{2}[/inlmath] je takođe manji od nule.

Dakle, ovde je greška:

nikola011 je napisao:[dispmath]\cos\alpha=\sqrt{\frac{49}{81}}=\frac{7}{9}[/dispmath]

Iz [inlmath]\cos^2\alpha=\frac{49}{81}[/inlmath] ne sledi [inlmath]\cos\alpha=\sqrt{\frac{49}{81}}[/inlmath], već [inlmath]\cos\alpha={\color{red}\pm}\sqrt{\frac{49}{81}}[/inlmath]
Ali, ovde ispred korena uzimamo minus zbog uslova [inlmath]\alpha\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath], zbog čega kosinus ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] mora biti negativan.
Takođe, i kod formule za kosinus polovine ugla moramo ispred korena imati [inlmath]\pm[/inlmath]:
[dispmath]\cos\frac{\alpha}{2}={\color{red}\pm}\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}[/dispmath]
s tim, što ovde takođe uzimamo minus jer smo već zaključili da se [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath] nalazi u drugom kvadrantu, pa i njegov kosinus mora biti negativan.
Prema tome,
[dispmath]\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1-\frac{7}{9}}{2}}=\cdots[/dispmath]

I, da, ovo nema baš nikakve veze s adicionim formulama. Korigovao sam naslov teme.

Hvala Daniele - radimo ovo i dalje u okviru adicionih formula pa sam zato stavio takav naslov. Nego, imam još jedno pitanje:

Ali, ovde ispred korena uzimamo minus zbog uslova [inlmath]\alpha\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath]

Da li je minus iz razloga što je rezultat manji od [inlmath]\pi[/inlmath] ili nečeg drugog ?

Resenje je negativno zbog [inlmath]\cos x<0,\;x\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath]
[inlmath]\displaystyle a\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)\;\Rightarrow\;\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)[/inlmath]

Ako ste radili trigonometrijsku kruznicu, na njoj se najbolje vidi znak trigonometrijske funkcije.
Funkcija kosinus je negativna u [inlmath]II[/inlmath] i [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu.

Da, da, radili smo, jasno mi je sad. Hvala još jednom

Inače, u postu iz kojeg su preuzete prethodne dve slike imate upravo i sliku koja pokazuje predznake trigonometrijskih funkcija: