MATEMANIJA

Narode, ja sam ovde nov, kao i većina vas spremam matu za prijemni... Sve ovde mi se jako svidelo, pokupio sam par forica, oko izračunavanja maksimalne i minimalne vrednosti funkcije, ali imam problem kod trigonometrijskih jednačina, kada se traži broj rešenja na intervalu, nemam ni najmanji problem, ali kada se traži zbir rešenja, recimo neke jednačine a nije zadat interval, tu imam veliki problem. Ima li neko neki savet ili uputstvo kako to da odradim?
A evo i konkretan zadatak, u pitanju je prijemni na FON-u, 2005 god.
Dakle traži se zbir najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog rešenja date jednačine.
Ne umem da koristim latex, ali mislim da je svima prihvatljiv ovaj format, izvinite ako bude problema. Unapred hvala!

---

[inlmath]17.[/inlmath] Zbir najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\sin2x+\sin^4\frac{x}{2}=\cos^4\frac{x}{2}[/inlmath] je:
[inlmath]\displaystyle\enclose{circle}{A)}\;-\frac{\pi}{3};\qquad[/inlmath][inlmath]\displaystyle B)\;\frac{\pi}{3};\qquad[/inlmath][inlmath]\displaystyle C)\;0;\qquad[/inlmath][inlmath]\displaystyle D)\;\frac{2\pi}{3};\qquad[/inlmath][inlmath]\displaystyle E)\;-\frac{2\pi}{3};\qquad[/inlmath][inlmath]\displaystyle N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]

Evo pocetne ideje - prebaci ovaj sinus na cetvrti sa leve strane na desnu stranu, dobijas razliku kvadrata, ona zagrada gde je plus je [inlmath]1[/inlmath], a ona zagrada u kojoj je minus je kosinus dvostrukog ugla, leva strana je sinus dvostrukog ugla...(dalje mozes sam). Trigonometrijska jednacina uvek ima vise resenja zbog periodicnosti. Slobodno pitaj ako treba jos nesto da objasnim.

Ma nije to meni problem, problem je kada dođem do rešenja, [inlmath]\sin2x=\cos2x[/inlmath], kako onda razmišljam? Hvala na pomoći

Kvadriraj levo i desno, pa onda primeni da je [inlmath]\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha[/inlmath]

samaras7 je napisao:Ma nije to meni problem, problem je kada dođem do rešenja, [inlmath]\sin2x=\cos2x[/inlmath], kako onda razmišljam? Hvala na pomoći

Proveri opet postupak trebalo bi da dobijes [inlmath]\sin2x=\cos x[/inlmath], probaj da otkucas postupak, ako imas problem sa latexom pitaj me putem privatne poruke, pa cu ti ja rado pomoci da otkucas postupak.

daa, to mi je promaklo, i sada imam rešenja :

[inlmath]\cos x=\frac {\pi}{2}\\
\cos x=\frac{3\pi}{2}\\
\sin x=\frac{\pi}{6}\\
\sin x=\frac{5\pi}{6}[/inlmath]

Obrati paznju na ovo sto si napisao...ti imas da je:
[dispmath]\cos x=0\quad\lor\quad\sin x=\frac{1}{2}[/dispmath]
A resenja po [inlmath]x[/inlmath] ce biti jednaka ovom, uz naravno postojanje periodicnosti, koju nisi ukljucio.

samaras7 je napisao:Ne umem da koristim latex, ali mislim da je svima prihvatljiv ovaj format,

Pa, nije. Iz dva razloga. Prvi je preglednost foruma, a drugi je što svaka okačena slika zauzima prostor na serveru. Bio bi nam zato veliki problem ako bi svi umesto Latexa kačili slike.
A Latex zaista nije nikakav problem shvatiti. Dovoljno je pročitati prvih nekoliko pasusa Latex-uputstva, a i ako pored toga bude ikakvih problema, uvek smo voljni da pomognemo, kô što i Wolf reče.

Ovaj zadatak smo već imali, u ovoj i u ovoj temi.

pentagram142857 je napisao:

samaras7 je napisao:Ma nije to meni problem, problem je kada dođem do rešenja, [inlmath]\sin2x=\cos2x[/inlmath], kako onda razmišljam? Hvala na pomoći

Kvadriraj levo i desno, pa onda primeni da je [inlmath]\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha[/inlmath]

OK, razjašnjeno je već da se ne dobija jednačina [inlmath]\sin2x=\cos2x[/inlmath] (već [inlmath]\sin2x=\cos x[/inlmath]), ali kad bismo imali takvu jednačinu i primenili kvadriranje, morali bismo da postavljamo uslove predznaka leve i desne strane (jer se kvadriranjem gubi informacija o znaku), a to bi dosta zakomplikovalo postupak. Ako pri kvadriranju ne bismo postavili uslove, dobili bismo višak rešenja.
Umesto toga, ovakvu jednačinu bi lakše bilo rešiti deljenjem obe strane sa [inlmath]\cos2x[/inlmath] (za koji se lako može proveriti da je različit od nule, te je deljenje njime dozvoljeno), nakon čega dobijamo sasvim jednostavnu jednačinu [inlmath]\text{tg }2x=1[/inlmath].

Kvadiranjem obe strane (bez postavljanja uslova) dobili bismo pogrešan skup rešenja [inlmath]2x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath] (jer, pored tačnih, uključuje i netačna rešenja), a deljenjem sa [inlmath]\cos2x[/inlmath] dobili bismo [inlmath]2x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath], što predstavlja tačan skup rešenja.

Dobro, izvinjavam se još jednom, potrudiću se da ga savladam onda. I definitivno najrazumljivije rešenje je to. Hvala lepo! Još jednom se izvinjavam.

Sve OK!