MATEMANIJA

Izracunati izraz [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath]
Ja sam pokusavao sa pretvaranjem proizvoda u zbir al se ponovo vracam na isto tj. ne uspevam da sredim izraz.
Pokusao sam i da pomnozim i podelim sa [inlmath]2\sin\frac{\pi}{5}[/inlmath] al dolazim do koraka [inlmath]\frac{\sin\frac{4\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}}[/inlmath]. Kada bih rastavljao [inlmath]\sin\frac{4\pi}{5}[/inlmath] preko duplog ugla ponovo bih sve vratio na pocetni oblik [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath]
Ima li neko ideju ?

Zadatak se, u principu, svodi na odredjivanje [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath] (jer se odatle lako nalazi i [inlmath]\sin\frac{\pi}{5}[/inlmath], koji ce nam biti potreban kad odredjujemo [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath]). Tu vrednost mozes naci iz formule za [inlmath]\cos(5x)[/inlmath] preko [inlmath]\cos x[/inlmath] (kod nas je [inlmath]x=\frac{\pi}{5}[/inlmath]), koja je izvodjena u ovoj temi (tu je za sinus, ali ista je prica za kosinus). Odatle ces dobiti jednu jednacinu po [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath], no trebalo bi da je sve resivo.

Takodje, poprilicno sam ubedjen da je na forumu vec negde izvodjena formula za vrednost sinusa i kosinusa za ovaj ugao (jer je taj ugao specifican), no to ce neko drugi bolje znati.

Herien Wolf je napisao:al dolazim do koraka [inlmath]\frac{\sin\frac{4\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}}[/inlmath].

[inlmath]\sin\frac{4\pi}{5}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)=\sin\frac{\pi}{5}[/inlmath]

Onomatopeja je napisao:Tu vrednost mozes naci iz formule za [inlmath]\cos(5x)[/inlmath] preko [inlmath]\cos x[/inlmath] (kod nas je [inlmath]x=\frac{\pi}{5}[/inlmath]), koja je izvodjena u ovoj temi (tu je za sinus, ali ista je prica za kosinus). Odatle ces dobiti jednu jednacinu po [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath], no trebalo bi da je sve resivo.

Dobije se, nažalost, jednačina petog stepena (slično kao i u toj temi), tj. [inlmath]\cos5x=16\cos^5x-20\cos^3x+5\cos x[/inlmath], tako da, nakon uvrštavanja [inlmath]x=\frac{\pi}{5}[/inlmath], nije moguće analitički izraziti [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath] preko [inlmath]\cos\pi[/inlmath].

Onomatopeja je napisao:Takodje, poprilicno sam ubedjen da je na forumu vec negde izvodjena formula za vrednost sinusa i kosinusa za ovaj ugao (jer je taj ugao specifican), no to ce neko drugi bolje znati.

Jeste, ja sam je izvodio ovde, a Ilija ovde (Ilija je, doduše, odredio [inlmath]\cos\frac{4\pi}{5}[/inlmath], ali to je isto što i [inlmath]-\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath]).

Da, zaista, ovde nije ni bilo potrebe da se odredi vrednost kosinusa, tj. sinusa, od ovog ugla.

Na prvi pogled mi je izgledalo da ovaj polinom petog stepena ima jednu celu nulu, pa da bi se onda mogao sniziti red, a onda posle ocigledne smene svesti na kvadratnu jednacinu. No, ne moze na taj nacin.

Hvala, uradio sam zadatak
Osim resenja koje je Daniel predocio naveo bih jos dva nacina koja priblizno dovode do resenja. Ovo je zadatak sa prijemnog (u pitanju je FON al ne znam koja godina).

Tekst zadatka:

Vrednost proizvoda [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] je:
[inlmath]A)\;\frac {1}{2}\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\frac{\sqrt3}{2}\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\frac{1}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]D)\;-\frac{1}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;-\frac{1}{2}[/inlmath]

---

I nacin
[dispmath]\cos\frac{\pi}{5}<\cos\frac{\pi}{6}\quad\land\quad\cos\frac{2\pi}{5}<\cos\frac{2\pi}{6}\\
\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}<\cos\frac{\pi}{6}\cdot\cos\frac{2\pi}{6}\\
\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}<\frac{\sqrt3}{4}[/dispmath]
S obzirom na to da je [inlmath]\cos\frac{\pi}{5},\cos\frac{2\pi}{5}>0\;\Rightarrow\;\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}>0[/inlmath]
Ovo automatski dovodi do toga da [inlmath]0<\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}<\frac{\sqrt3}{4}[/inlmath]
Ovde odmah eliminisemo dva negativna resenja pod D) i E) i do tako sto cemo eliminisati resenja veca od [inlmath]\frac{\sqrt3}{4}[/inlmath] u ovom slucaju to su A) i B), i kao jedino resenje koje se uklapa u uslove ostaje pod C) tj. [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{1}{4}[/inlmath]

---

II nacin
Drugi nacin bi takodje doveo do priblizne vrednosti preko aproksimacije funkcija tj. [inlmath]f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\cdot\Delta x[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{30}\right)\approx\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{6}\cdot\frac{\pi}{30}\\
\cos\frac{\pi}{5}\approx\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{60}\\
\cos\frac{\pi}{5}\approx0.81[/dispmath]
Nakon toga [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] izrazimo preko [inlmath]2\cos^2\frac{\pi}{5}-1[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{81}{100}\cdot\left(2\left(\frac{81}{100}\right)^2-1\right)\\
\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{81}{100}\cdot\left(\frac{6561}{5000}-1\right)\\
\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{81}{100}\cdot\frac{1561}{5000}\\
\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{253}{1000}\\
\cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{2\pi}{5}\approx\frac{1}{4}[/dispmath]
Kod aproksimacije funkcija [inlmath]\Delta x[/inlmath] treba da bude jako mali broj ali u ovom slucaju iako [inlmath]\Delta x[/inlmath] nije bilo bas mali broj greska u vrednosti [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath] je priblizno [inlmath]0.004[/inlmath]

Naravno napomena da oba nacina nisu primarni nacini resavanja ali u slucaju kada ne mozemo da dodjemo do tacnog resenja "standardnim" putem, ova dva nacina mogu biti od koristi. Mada je pozeljno zadatak uraditi na standardni nacin koji dovodi do egzaktnog resenja.

Treba da se izracuna:
[dispmath]\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\cdot\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)[/dispmath]
Moze upustvo kako da pocnem ili sta da uocim ?

Bilo pre nepunih mesec dana: viewtopic.php?f=4&t=2650

P.S. U ovom izrazu ti nisu potrebne zagrade.

Vrlo zanimljivo, nisam uspeo da mrdnem nikako, a zapravo je samo trebalo da se vidi da je [inlmath]\frac{2\pi}{5}[/inlmath] isto sto i [inlmath]\frac{3\pi}{5}[/inlmath]

[inlmath]\frac{2\pi}{5}[/inlmath] nikako nije isto sto i [inlmath]\frac{3\pi}{5}[/inlmath].

Ne mislim u smislu uglova vec sinusa