MATEMANIJA

[dispmath]\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=?[/dispmath]
Kaze da sinus dvostrukog ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] je jednak sa [inlmath]m[/inlmath], ako je sinus dvostrukog ugla u [inlmath]4.[/inlmath] kvadrantu , i:
[dispmath]m\in(-1,0)[/dispmath]
Kako srediti ovaj izraz ?

Pre svega da odredimo kada [inlmath]\displaystyle\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}[/inlmath] ne postoji kao izraz.
[dispmath]\sin\alpha-\cos\alpha\ne0\\
\sin\alpha\ne\cos\alpha\\
\alpha\ne\frac{\pi}{4}+k\pi[/dispmath]
Nakon sto smo iskljucili mogucnost da imenilac bude jednak nuli, prelazimo na sredjivanje izraza
[dispmath]\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\\
=\frac{\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2}{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}\\
=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{-\cos2\alpha}\\
=-\frac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha}[/dispmath]
Kao sto si ti naveo u postavci [inlmath]\sin2\alpha=m,\;m\in\left(-1,0\right)[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\;2\alpha\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)\\
\Rightarrow\;\alpha\in\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)[/dispmath]
Sad pogledamo uslov sa pocetka i dolazimo da ova jednacina postoji za [inlmath]\displaystyle\alpha\in\left(\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\;\pi+2k\pi\right)[/inlmath]
[inlmath]\pi[/inlmath] je eliminisano zbog [inlmath]m\in\left(-1,0\right)[/inlmath]
Domen se odnosi na zadati interval parametra [inlmath]m[/inlmath].
Sad ja sam pokazao kako da sredis, samo me zanima sta se trazilo u zadatku ?

Naime ovo je bio zadatak sa bloga od profesora,ali tekst nije bio bas najjasniji,sad sam ga nasao u krugovoj zbirci i to je 792. samo da se sredi i nista vise,u svakom slucaju hvala puno.

@NekiLik99, pošto si ga našao u zbirci, bi li, molim te, ovde napisao tačan (originalan) tekst zadatka?

Odrediti [inlmath]\displaystyle\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}[/inlmath] ako je [inlmath]\sin2\alpha=m,\;m\in(-1,0)[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle2\alpha\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)[/inlmath]

Sad da dovrsimo zadatak
[dispmath]-\frac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=-\frac{1+\sin2\alpha}{\sqrt{1-\sin^22\alpha}}=-\frac{1+m}{\sqrt{1-m}}[/dispmath]
Ovo se eventualno moze racionalisati al' i ne mora.
Inace [inlmath]\cos2\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^22\alpha}[/inlmath] ali kao sto je gore navedeno da se [inlmath]2\alpha[/inlmath] nalazi u [inlmath]IV[/inlmath] kvadrantu odatle sledi da je [inlmath]\cos2\alpha>0\;\Rightarrow\;\cos2\alpha=\sqrt{1-\sin^22\alpha}[/inlmath]