MATEMANIJA

Evo jednog naizgled laganog zadatka. Dokazati identitet:
[dispmath]\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\cos^2\beta[/dispmath]
Krenem ja lepo raspisem i vidim razliku kvadrata:
[dispmath]\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta-\sin^2\alpha\cdot\sin^2\beta=\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta-\left(1-\cos^2\alpha\right)\left(1-\cos^2\beta\right)=\\
=\cancel{\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta}-1+\cos^2\alpha+\cos^2\beta-\cancel{\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta}[/dispmath]
Sad probam ovo jedan da zapisem kao:
[dispmath]\sin^2\beta+\cos^2\beta=1[/dispmath]
I dobijem:
[dispmath]\cos^2\alpha-\sin^2\beta[/dispmath]
Gde gresim ?
Zadatak je iz knjige matematika za 2 razred srednje skole (Gradimir Vojvodovic, Radivoje Despotovic, Vojislav Petrovic, Ratko Tosic, Branimir Seselja)

Lako se može pokazati da zadati „identitet“ – nije identitet.

Na levu stranu primenimo transformaciju proizvoda kosinusa u zbir, a na desnoj, budući da imamo kvadrate kosinusa, primenimo formule za kosinus polovine ugla:
[dispmath]\left.\frac{1}{2}\left[\cos\left(\alpha+\cancel\beta+\alpha-\cancel\beta\right)+\cos\left(\cancel\alpha+\beta-\cancel\alpha+\beta\right)\right]=\frac{1+\cos2\alpha}{2}-\frac{1+\cos2\beta}{2}\quad\right/\cdot2\\
\cancel{\cos2\alpha}+\cos2\beta=\bcancel1+\cancel{\cos2\alpha}-\bcancel1-\cos2\beta\\
\cos2\beta=0[/dispmath]
čime je pokazano da ova jednakost ne važi za svako [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath], već važi samo za [inlmath]2\beta=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], tj. [inlmath]\beta=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath].

To se poklapa i s rezultatom koji si ti dobio, jer iz [inlmath]\cos^2\alpha-\sin^2\beta=\cos^2\alpha-\cos^2\beta[/inlmath] (izjednačavanje tvog i njihovog rezultata) sledi
[dispmath]\sin^2\beta=\cos^2\beta\\
\text{tg}^2\beta=1\quad\left(\cos^2\beta\ne0\right)\\
\text{tg }\beta=\pm1\\
\beta=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath]
što upravo i jeste ona (i samo ona) vrednost [inlmath]\beta[/inlmath] za koju sam pokazao da zadati „identitet“ važi.

---

Ako može pojašnjenje, kako si u svom postupku za levu stranu dobio [inlmath]\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta-\sin^2\alpha\cdot\sin^2\beta[/inlmath]? (Jeste to tačno, nego ne uočavam koje si transformacije primenio.)

---

Korigovao sam ti post – u Latexu pre sin i cos treba pisati backslash kako bi sin i cos bili prikazani uspravnim slovima (i time se razlikovali od promenljivih). Dakle, \sin i \cos.

Pa samo koristim adicionu za [inlmath]\cos(\alpha+\beta)[/inlmath]. Dobiju se dve zagrade koje se mnoze, jedna sa [inlmath]+[/inlmath], a druga sa [inlmath]-[/inlmath]. Tada se uoci razlika kvadrata i to je to..

A, pa jeste, tačno si i bio spomenuo razliku kvadrata. Thnx, jasno sad.