MATEMANIJA

Ok, imam jedno pitanje koje me muči ceo dan. Da li je kao rešenje za jednačinu npr. [inlmath]\cos x=\frac{1}{2}[/inlmath] prihvatljivo napisati [inlmath]x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\;\left(k\in\mathbb{Z}\right)[/inlmath], ili je pravilan samo zapis [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\;\lor\;x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi\;\left(k\in\mathbb{Z}\right)[/inlmath], ili je možda neki treći oblik zapisivanja pravilniji (bolji)?

---

Kaže meni profesor matematike danas da je drugi način "pravilniji". Na moje pitanje zašto je to tako on je odgovorio: "ne razumeš ti to."

Ono sto sam ja zakljucio je da mi nekada resenja nisu upadala u interval kada sam pisao na prvi nacin, te sam odredio da cu resenja pisati uvek ili samo u [inlmath]-[/inlmath]orjentaciji ili samo u [inlmath]+[/inlmath]orjentaciji. Cekamo pametnijeg da odgovori

Pa mislim to je kao kad bi napisao i [inlmath]x=-\frac{5\pi}{3}+2k\pi\;\lor\;x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi\;\left(k\in\mathbb{Z}\right)[/inlmath]. Ne vidim uopste sustinu toga da je ovaj drugi nacin pravilniji, kako kaze profesor. Ja sam uvek koristio ovaj prvi zapis i nikad nisam omanuo u trazenju resenja na zadatom intervalu. Ne znam, mozda ja gresim, ali ne vidim kako zapis moze da utice na tacnost resenja. Sve je to isto.

A ovaj drugi deo,

ubavic je napisao:Kaže meni profesor matematike danas da je drugi način "pravilniji". Na moje pitanje zašto je to tako on je odgovorio: "ne razumeš ti to."

I ja obično zapisujem u tom obliku [inlmath]x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\;\left(k\in\mathbb{Z}\right)[/inlmath], jer je taj oblik kraći i elegantniji i, pravo da ti kažem, nikad nisam previše ni lupao glavu time da li je ispravan ili ne (podrazumevao sam da jeste).

Eventualno, nije sasvim bez smisla reći da je pravilniji ovaj drugi oblik zapisa, sa znakom [inlmath]\lor[/inlmath]. Sve zavisi od toga kako tumačimo znak [inlmath]\pm[/inlmath]. Npr. kod formule [inlmath]\sin x=\pm\sqrt{1-\cos^2x}[/inlmath] taj [inlmath]\pm[/inlmath] znači da nekad uzimamo plus, a nekad uzimamo minus (u zavisnosti od intervala kojem [inlmath]x[/inlmath] pripada). Ako bismo [inlmath]\pm[/inlmath] tumačili u tom istom kontekstu i kod zapisa [inlmath]x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\;\left(k\in\mathbb{Z}\right)[/inlmath], to bi značilo da nam je skup rešenja nekad [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath], a nekad [inlmath]x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] – što, naravno, nije tačno, jer znamo da zapisom treba da budu obuhvaćeni i jedan i drugi skup rešenja istovremeno – i s plusom, i s minusom.

Eto, to je neko moje rezonovanje, ne mora da znači da sam u pravu. Čujmo još nekoga.

ubavic je napisao:Na moje pitanje zašto je to tako on je odgovorio: "ne razumeš ti to."

Za ovo bih se pridružio Ilijinom „no comment“.
Ali opet ne mogu a da ne prokomentarišem.
Tvoje je pravo da nešto ne razumeš, a obaveza profesora je da ti to razjasni.

Meni je izgledalo da on ima neki veoma dobar razlog zašto je jedan način zapisivanja pravilniji od drugog. Zato sam i vas pitao.
Čak mislim da mu nije bio problem u tome što prvi način ima znak [inlmath]\pm[/inlmath], već što se pojavljuje vrednost [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath] a ne [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath].
Hvala na odgovorima

Meni je drugi način zapisa (sa "ili") razumljiviji.
Jedino što je nerazumljivo (za mene) je komentar profesora: "ne razumeš ti to".
Po mom mišljenju nemoguće je da Ubavić nešto ne razume, a pogotovo ovo.
Nemoguć događaj u teoriji verovatnoće.

ubavic je napisao:Čak mislim da mu nije bio problem u tome što prvi način ima znak [inlmath]\pm[/inlmath], već što se pojavljuje vrednost [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath] a ne [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath].

Ako je problematičnost znaka [inlmath]\pm[/inlmath] i imala neke logike, ovo s [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] nema (bar meni) baš nikakve logike.
Profesor verovatno smatra da je u zapisu rešenja potrebno da se „osnovne vrednosti“ (ako smem tako da ih nazovem, tj. one vrednosti pre dodatka [inlmath]+2k\pi[/inlmath]) nalaze u intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right)[/inlmath].
Ali ja onda mogu da pitam – zbog čega? Šta fali, recimo, intervalu [inlmath]\left(-\pi,\pi\right][/inlmath]?
Sad bih ja tu imao još pitanja, npr. da li bi to značilo i da bi rešenje jednačine [inlmath]\sin x=-1[/inlmath] bilo pravilnije zapisati kao [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\;\left(k\in\mathbb{Z}\right)[/inlmath], nego kao [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\;\left(k\in\mathbb{Z}\right)[/inlmath]?
Pa to onda, opet, otvara i pitanje, koliko bi bilo pravilno to isto rešenje zapisati i kao [inlmath]x=\frac{7\pi}{2}+2k\pi\;\left(k\in\mathbb{Z}\right)[/inlmath]? Ili kao [inlmath]x=\frac{11\pi}{2}+2k\pi\;\left(k\in\mathbb{Z}\right)[/inlmath]? Da li bi ovakvi zapisi bili manje pravilni nego [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\;\left(k\in\mathbb{Z}\right)[/inlmath]?
Što se tiče one prvobitne jednačine [inlmath]\cos x=\frac{1}{2}[/inlmath] – ukoliko nije problem do znaka [inlmath]\pm[/inlmath] već do intervala „osnovnih vrednosti“ (koji treba da bude [inlmath]\left[0,2\pi\right)[/inlmath]), da li bi onda zapis [inlmath]x=\pi\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi\;\left(k\in\mathbb{Z}\right)[/inlmath] mogao da prođe kao sasvim pravilan?