MATEMANIJA

Izraz je [inlmath]E=a\cdot\sin^2(\alpha+\beta)+b\cdot\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta)+c\cdot\cos^2(\alpha+\beta)[/inlmath]

I sad izracunati vrednost izraza ako su [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath] i [inlmath]\text{tg }\beta[/inlmath] koreni tj. resenja kvadratne jednacine [inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath]. Resenje je [inlmath]c[/inlmath].

Posto su [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath] i [inlmath]\text{tg }\beta[/inlmath] koreni tj. resenja kvadratne jednacine [inlmath]ax^2+bx+c=0[/inlmath] to znaci da je [inlmath]\text{tg }\alpha+\text{tg }\beta=-\frac{b}{a}[/inlmath] i [inlmath]\text{tg }\alpha\cdot\text{tg }\beta=\frac{c}{a}[/inlmath]

Kako ugao [inlmath]\alpha+\beta[/inlmath] figurise u zadatku pomislio sam da treba mozda izracunati
[dispmath]\text{tg }(\alpha+\beta)=\frac{b}{c-a}[/dispmath]
Onda preko formula za poluuglove, a i mnozenjem i deljenjem srednjeg clana izraza sa [inlmath]2[/inlmath] da bih dobio sinus dvostrukog ugla transformisem izraz [inlmath]E[/inlmath] sa pocetka
[dispmath]E=a\cdot\frac{1-\cos2(\alpha+\beta)}{2}+\frac{b}{2}\cdot\sin2(\alpha+\beta)+c\cdot\frac{1+\cos2(\alpha+\beta)}{2}[/dispmath]
Sada bi trebalo da se iskoriste formule
[dispmath]\sin2(\alpha+\beta)=\frac{2\text{tg }(\alpha+\beta)}{1+\text{tg}^2(\alpha+\beta)}\\
\cos2(\alpha+\beta)=\frac{1-\text{tg}^2(\alpha+\beta)}{1+\text{tg}^2(\alpha+\beta)}[/dispmath]
Ja imam problema sa zamenom [inlmath]\text{tg }(\alpha+\beta)[/inlmath] u ove 2 formule i posle u sam izraz koji se mnogo zakomplikuje da ne znam sta da radim.

Mozda je moja ideja pogresna? Molim za pomoc oko ovog zadatka, unapred zahvalan!

Nisu potrebne formule za polovinu ugla.
Moj postupak
[dispmath]E=a\cdot\sin^2\left(\alpha+\beta\right)+b\cdot\sin\left(\alpha+\beta\right)\cos\left(\alpha+\beta\right)+c\cdot\cos^2\left(\alpha+\beta\right)\\
ax^2+bx+c=0\\
\Rightarrow\quad-\frac{b}{a}=\text{tg }\alpha+\text{tg }\beta\\
\Rightarrow\quad\frac{c}{a}=\text{tg }\alpha\cdot\text{tg }\beta\\
E=a\cdot\sin^2\left(\alpha+\beta\right)+b\cdot\sin\left(\alpha+\beta\right)\cos\left(\alpha+\beta\right)+c\cdot\cos^2\left(\alpha+\beta\right)\phantom{........}\Big/\cdot\frac{1}{a\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}\\
\frac{E}{a\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{a\cdot\sin^2\left(\alpha+\beta\right)}{a\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}+\frac{b\cdot\sin\left(\alpha+\beta\right)\cos\left(\alpha+\beta\right)}{a\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}+\frac{c\cdot\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}{a\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}\\
\frac{E}{a\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}=\text{tg}\left(\alpha+\beta\right)+\frac{b}{a}\text{tg}\left(\alpha+\beta\right)+\frac{c}{a}\\
\text{tg}\left(\alpha+\beta\right)=\frac{\text{tg }\alpha+\text{tg }\beta}{1-\text{tg }\alpha\text{tg }\beta}=\frac{-\frac{b}{a}}{1-\frac{c}{a}}=-\frac{\frac{b}{a}}{\frac{a-c}{a}}=\frac{b}{c-a}\\
\Rightarrow\quad\frac{E}{a\cdot\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{b}{c-a}+\frac{b}{a}\cdot\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a}\\
\frac{E}{a\cdot\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{ab}{a\left(c-a\right)}+\frac{b^2}{a\left(c-a\right)}+\frac{c\left(c-a\right)}{a\left(c-a\right)}\\
\frac{E}{a\cdot\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{ab+b^2+c\left(c-a\right)}{a\left(c-a\right)}\\
\frac{1}{\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\sin^2\left(\alpha+\beta\right)+\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}{\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}=\text{tg}^2\left(\alpha+\beta\right)+1\\
E\left(\text{tg}^2\left(\alpha+\beta\right)+1\right)=\frac{ab+b^2+c\left(c-a\right)}{c-a}\\
E\left(\frac{b^2}{\left(c-a\right)^2}+1\right)=\frac{ab+b^2+c\left(c-a\right)}{c-a}\\
E\frac{b^2+\left(c-a\right)^2}{\left(c-a\right)^2}=\frac{ab+b^2+c\left(c-a\right)}{c-a}\\
E=\frac{\left(c-a\right)\left(ab+b^2+c\left(c-a\right)\right)}{b^2+\left(c-a\right)^2}\\
E=\frac{ab\left(c-a\right)+b^2\left(c-a\right)+c\left(c-a\right)^2}{b^2+\left(c-a\right)^2}[/dispmath]
Nadam se da je ovo traženo rešenje, možda može još da se sredi.

Resenje je samo [inlmath]c[/inlmath]. Ne znam samo kako, ovo je inace iz ETF-ove zbirke za prijemni.

Sad sto sam video u resenju kao pomoc a ne i ceo postupak imaju da je
[dispmath]\text{tg }(\alpha+\beta)=\frac{-b}{c-a}[/dispmath]
Ovo nije naravno tacno, sto si i ti Heriene, potvrdio.Strasno, verovatno su ovako smislili zadatak na osnovu tog resenja.


Inace hvala ti za trud da sve ovo otkucas u Latexu, ali moguce da su ovo nesto zbrkali, da li u izrazu, ili kvadratnoj jednacini, ko ce ga znati.

Da, treba da se dobije [inlmath]c[/inlmath]. Wolfe, izostavio si jedan kvadrat (dopisao sam ti ga crvenom bojom):

Herien Wolf je napisao:[dispmath]\frac{E}{a\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{a\cdot\sin^2\left(\alpha+\beta\right)}{a\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}+\frac{b\cdot\sin\left(\alpha+\beta\right)\cos\left(\alpha+\beta\right)}{a\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}+\frac{c\cdot\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}{a\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}\\
\frac{E}{a\cos^2\left(\alpha+\beta\right)}=\text{tg}^{\color{red}2}\left(\alpha+\beta\right)+\frac{b}{a}\text{tg}\left(\alpha+\beta\right)+\frac{c}{a}[/dispmath]

Ostatak postupka je, kol'ko sam video, u redu. Samo to ispravi i dobićeš [inlmath]c[/inlmath].

Evo da dovrsim zadatak(hvala Heriene Wolf i Daniele)
[dispmath]\frac{E}{a\cdot\cos^2(\alpha+\beta)}=\frac{ab^2+b^2(c-a)+c(c-a)^2}{a(c-a)^2}[/dispmath][dispmath]E\left(\text{tg}^2(\alpha+\beta)+1\right)=\frac{ab^2+b^2c-ab^2+c(c-a)^2}{(c-a)^2}[/dispmath][dispmath]E\frac{b^2+(c-a)^2}{(c-a)^2}=\frac{b^2c+c(c-a)^2}{(c-a)^2}[/dispmath][dispmath]E=\frac{cb^2+c(c-a)^2}{b^2+(c-a)^2}[/dispmath][dispmath]E=\frac{c\left(b^2+(c-a)^2\right)}{b^2+(c-a)^2}[/dispmath][dispmath]E=c[/dispmath]