MATEMANIJA

Imam problem sa nekoliko trigonometrijskih jednacina.

Evo prve a interval je [inlmath][0,2\pi][/inlmath]:
[dispmath]\sin2x=\cos4x[/dispmath][dispmath]\sin2x=\cos^22x-\sin^22x\\
\sin2x=1-2\sin^22x\\
2\sin^22x+\sin2x-1=0\\
\sin x_{1,2}=\frac{1}{2},-1[/dispmath]
Meni nije jasno kako se dobijaju resenja [inlmath]\displaystyle\frac{7\pi}{2}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\frac{19\pi}{12}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\frac{11\pi}{12}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\frac{23\pi}{12}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\frac{\pi}{4}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\frac{5\pi}{4}[/inlmath].

Unapred zahvalan na pomoci.

To je ocigledno neka greska. Cak neka resenja i ne pripadaju intervalu. Kao npr, evo kao uzmemo za resenje [inlmath]\displaystyle\frac{7\pi}{2}[/inlmath] i zamenimo vidimo da jednakost ne vazi (iako i ne pripada intervalu koji je zadat):
[dispmath]\sin\left(2\cdot\frac{7\pi}{2}\right)=\cos\left(4\cdot\frac{7\pi}{2}\right)\\
\sin\left(7\pi\right)=\cos\left(14\pi\right)\\
0=1[/dispmath]
Ako ja dobro uradih, na intervalu se dobijaju resenja:
[dispmath]\frac{\pi}{12},\;\frac{5\pi}{12},\;\frac{3\pi}{4},\;\frac{13\pi}{12},\;\frac{17\pi}{12},\;\frac{7\pi}{4}.[/dispmath]

Hvala na pomoci! Ta resenja sam i ja dobio (pod uslovom da je [inlmath]k=0[/inlmath] i [inlmath]k=1[/inlmath], pa ima [inlmath]6[/inlmath] resenja ukupno za sva tri slucaja).

Verovatno je neka greska.

Može li neko da mi pomogne oko ovog zadatka?
[dispmath]\sin^4x+\cos^4x=\cos x[/dispmath] Ja sam došla do nekog dela ovako, ali ne mogu da završim zadatak
[dispmath]\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x\cos^2x=\cos x\\
1-2\sin^2x\cos^2x=\cos x\\
1-2\left(1-\cos^2x\right)\cos^2x=\cos x\\
1-2\cos^2x+2\cos^4x-\cos x=0\\
(1-\cos x)-2\cos^2x\left(1-\cos^2x\right)=0\\
(1-\cos x)-2\cos^2x(1-\cos x)\cdot(1+\cos x)=0\\
(1-\cos x)\left(1-2\cos^2x(1+\cos x)\right)=0\\
(1-\cos x)\left(1-2\cos^2x-2\cos^3x\right)=0[/dispmath] Hvala unapred!

Ceo postupak je OK, i jednačinu trećeg stepena koja bi se dobila izjednačavanjem drugog faktora s nulom nije moguće rešiti „napipavanjem“.

Kako tačno glasi tekst ovog zadatka? Da li glasi Naći rešenja jednačine, ili glasi Odrediti broj rešenja jednačine na (tom i tom) intervalu, ili nešto treće?

Glasi rešiti jednačinu...

Onda je sigurno greška u jednačini. Provereno.

Uredu, hvala Vam.