MATEMANIJA

Evo ovde cu da nastavim da ne otvaram novi thread.. Ja ne znam sta treba da uradim ni kako da pocnem. Resenje je [inlmath]p[/inlmath] pripada skupu [inlmath]\left[\frac{\sqrt5-1}{2},1\right][/inlmath]
Odrediti realan parametar [inlmath]p[/inlmath] tako da jednacina ima resenja.
[dispmath]\cos x+\sqrt{1+p}\cdot\sin x=1+\sqrt{1-p}[/dispmath]

jovanmilic97 je napisao:Evo ovde cu da nastavim da ne otvaram novi thread..

Kad zadatak nema mnogo sličnosti s prethodnim, kao što je ovde bio slučaj, tada ga obavezno treba staviti u novu temu (tačka 10. Pravilnika).

Korigovao sam ti Latex – sinus i kosinus se u Latexu pišu kao \sin x i \cos x, a ne sin x i cos x. Uoči razliku: [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]sin x[/inlmath].

Pa jeste da je trigonometrijska jednacina sa parametrom ali je opet bila jednacina(makar sam mislio a ima slicnosti, izgleda nema), pa nisam hteo da otvaram novi thread da spamujem. Izvinjavam se. Takodje, primljeno k znanju za sinus i kosinus.

Ja sam radio ovako. Postavim uslov za [inlmath]p[/inlmath], i on glasi [inlmath]p\in[-1,1][/inlmath]. Pa uvedem smenu [inlmath]1+\sqrt{1-p}=t[/inlmath], na osnovu cega cemo dobiti da je [inlmath]\sqrt{1+p}=\sqrt{1+2t-t^2}[/inlmath], pa se polazna jednacina svede na:
[dispmath]\sqrt{1+2t-t^2}\sin x=t-\cos x[/dispmath]
Onda kvadriramo, pa dobijamo:
[dispmath]\left(1+2t-t^2\right)\sin^2x=t^2-2t\cos x+\cos^2x\\
\vdots\\
\cos^2x\left(t^2-2t-2\right)+2t\cos x+\left(1+2t-2t^2\right)=0[/dispmath]
Da bi ovo imalo resenje, diskriminanta mora biti veca ili jednaka nuli, tj.:
[dispmath]D=8t^4-24t^3+24t+8\ge0\\
t\in\left(-\infty,\;\frac{1-\sqrt5}{2}\right]\cup\left[1-\sqrt2,\;\frac{1+\sqrt5}{2}\right]\cup\left[1+\sqrt2,\;+\infty\right)[/dispmath]
Zbog uslova [inlmath]t\in[1-\sqrt2,\;1+\sqrt2][/inlmath], ovaj interval se svodi na:
[dispmath]t\in\left[1-\sqrt2,\;\frac{1+\sqrt5}{2}\right]\cup\{1+\sqrt2\}[/dispmath]
I sad se to svodi na resavanje nejednacine:
[dispmath]1-\sqrt2\le1+\sqrt{1-p}\le\frac{1+\sqrt5}{2}[/dispmath]
odakle dobijamo resenje [inlmath]p\in\left[\frac{-1+\sqrt5}{2},\;1\right][/inlmath].

Ovo je odlicno resenje, svaka cast! Hvala!
Nikad mi ne bi palo na pamet da svedem na kvadratnu jednacinu i onda da radim preko determinante.

@Ilija, ako može par komentara i pitanja u vezi s tvojim postupkom.

Ilija je napisao:Postavim uslov za [inlmath]p[/inlmath], i on glasi [inlmath]p\in[-1,1][/inlmath]. Pa uvedem smenu [inlmath]1+\sqrt{1-p}=t[/inlmath],

i tu bi sad trebalo postaviti uslov [inlmath]t\in\left[1,\;1+\sqrt2\right][/inlmath], što sledi iz [inlmath]p\in\left[-1,1\right][/inlmath]. Verujem da si ovo i imao na umu samo nisi napisao, ali eto, čisto da napomenem.

Ilija je napisao:Pa uvedem smenu [inlmath]1+\sqrt{1-p}=t[/inlmath], na osnovu cega cemo dobiti da je [inlmath]\sqrt{1+p}=\sqrt{1+2t-t^2}[/inlmath],

Tu bi takođe valjalo malo prokomentarisati. Dobijamo [inlmath]\sqrt{1-p}=t-1[/inlmath], pa sad uočavamo da je leva strana nenegativna (kvadratni koren), a da je takođe i desna strana nenegativna zbog toga što [inlmath]t[/inlmath] ne može biti manje od jedinice (uslov koji sam malopre napisao za interval [inlmath]t[/inlmath]). Zbog toga što su obe strane jednačine nenegativne, možemo ih bez problema kvadrirati, čime dobijamo [inlmath]1-p=t^2-2t+1[/inlmath], odatle [inlmath]1+p=1+2t-t^2[/inlmath], to jest [inlmath]\sqrt{1+p}=\sqrt{1+2t-t^2}[/inlmath].

Ilija je napisao:[dispmath]\sqrt{1+2t-t^2}\sin x=t-\cos x[/dispmath]
Onda kvadriramo, pa dobijamo:
[dispmath]\left(1+2t-t^2\right)\sin^2x=t^2-2t\cos x+\cos^2x[/dispmath]

Ovaj korak mi je problematičan. OK, desna strana je očigledno nenegativna, jer je [inlmath]t[/inlmath] najmanje jedan a kosinus ne može biti veći od jedinice. Ali, šta je s levom stranom? Sinus može biti i pozitivan i negativan, a kvadriranjem se gubi informacija o njegovom znaku.

Ilija je napisao:[dispmath]D=8t^4-24t^3+24t+8\ge0\\
t\in\left(-\infty,\;\frac{1-\sqrt5}{2}\right]\cup\left[1-\sqrt2,\;\frac{1+\sqrt5}{2}\right]\cup\left[1+\sqrt2,\;+\infty\right)[/dispmath]

Na koji način si rešio ovu (ne)jednačinu četvrtog stepena?

---

Ja bih ponudio jedno drugačije rešenje. Koristio bih transformaciju [inlmath]A\sin x+B\cos x=a\sin\left(x+\varphi\right)[/inlmath], pri čemu je [inlmath]a=\sqrt{A^2+B^2}[/inlmath] (videti ovaj post). Primenom te transformacije dobijamo
[dispmath]\sqrt{1^2+\left(\sqrt{1+p}\right)^2}\sin\left(x+\varphi\right)=1+\sqrt{1-p}\\
\sqrt{p+2}\sin\left(x+\varphi\right)=1+\sqrt{1-p}[/dispmath]
Odatle vidimo da [inlmath]\sin\left(x+\varphi\right)[/inlmath] mora biti pozitivan (jer su i izraz [inlmath]\sqrt{p+2}[/inlmath] i izraz [inlmath]1+\sqrt{1-p}[/inlmath] pozitivni). Dakle, [inlmath]\sin\left(x+\varphi\right)\in\left(0,1\right][/inlmath]. Prema tome, iz prethodne jednačine sledi da je
[dispmath]\sqrt{p+2}\ge1+\sqrt{1-p}[/dispmath]
čime smo dobili jednostavnu iracionalnu nejednačinu. Budući da su obe njene strane pozitivne, možemo je komotno kvadrirati, sigurni da se time neće promeniti smer znaka nejednakosti,
[dispmath]p+2\ge1+2\sqrt{1-p}+1-p\\
\cancel2p\ge\cancel2\sqrt{1-p}\\
p\ge\sqrt{1-p}\\[/dispmath]
Pošto je desna strana nenegativna, postavljamo uslov da i leva strana mora biti nenegativna (jer nije manja od desne strane), tj. da je [inlmath]p\ge0[/inlmath], a zatim kvadriramo:
[dispmath]p^2\ge1-p\\
p^2+p-1\ge0\\
\vdots[/dispmath]

Daniel je napisao:i tu bi sad trebalo postaviti uslov [inlmath]t\in\left[1,\;1+\sqrt2\right][/inlmath], što sledi iz [inlmath]p\in\left[-1,1\right][/inlmath]. Verujem da si ovo i imao na umu samo nisi napisao, ali eto, čisto da napomenem.

Daniel je napisao:Ovaj korak mi je problematičan. OK, desna strana je očigledno nenegativna, jer je [inlmath]t[/inlmath] najmanje jedan a kosinus ne može biti veći od jedinice. Ali, šta je s levom stranom? Sinus može biti i pozitivan i negativan, a kvadriranjem se gubi informacija o njegovom znaku.

Pa imao sam to u vidu, ali sta je tu je. Ne znam sta bih odgovorio zaista. Ne utice na rezultat. xD

Daniel je napisao:Na koji način si rešio ovu (ne)jednačinu četvrtog stepena?

Faktorizacija?

Iskreno iako mi je formula poznata, nikad mi ne bi palo na pamet ovakvo resavanje (kao sto si ti prikazao).