MATEMANIJA

Probni prijemni ispit na Matematičkom fakultetu u Beogradu, 14. jun 2014.
Zadatak br. 15

Neki predlog za ovo:
[dispmath]\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi\sqrt2}{4}\sin x\right)=1[/dispmath]
Trazi se najmanje pozitivno resenje jednacine. Resenje zadatka je [inlmath]\displaystyle\frac{5\pi}{4}[/inlmath].
Pokusao sam koriscenjem adicione za tangens, ali [inlmath]\displaystyle\text{tg }\frac{3\pi}{2}=\pm\infty[/inlmath], pa mi to ne pomaze. Takodje, ovo je jednako i:
[dispmath]-\text{ctg}\left(\frac{\pi\sqrt2}{4}\sin x\right)=1[/dispmath]
Pokusao sam ja to i da izrazim kao:
[dispmath]\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi\sqrt2}{4}\sin x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\
\vdots[/dispmath]
ali nista to ocigledno nije od pomoci. Tako da sugestije dobrodosle. Osim naravno zamene resenja. To funkcionise, ali zanima me kada bi se to resilo i pokazalo. Neki postupak.

Dobro si krenuo. Sad lepo obe strane pomnoži sa [inlmath]\displaystyle\frac{4}{\pi}[/inlmath] i dobićeš [inlmath]\sqrt2\sin x=-5+4k[/inlmath]. Pošto leva strana pripada intervalu [inlmath]\left[-\sqrt2,\sqrt2\right][/inlmath], jasno je da tom intervalu mora pripadati i desna strana. Nađi odatle sve vrednosti [inlmath]k[/inlmath] za koje je to zadovoljeno.
Nakon toga ostaje ti samo jednačina sa sinusom, za koju verujem da ti neće biti problem.

Ja sam to tako ladno i radio do kraja, ali sad vidim da sam za [inlmath]k=1[/inlmath], cudotvorno napisao jednacine [inlmath]\sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], umesto samo sa predznakom minus. Svakako za ovu sa plusom jednakost i ne bi bila zadovoljena. Svasta.