E ljudi, nadam se da je ovo moje poslednje pitanje za vas pred prijemni.
Zadatak: Broj rešenja jednacine [inlmath]\cos x+\sin 2x=0[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath]\left[\frac{-\pi}{2},\pi\right)[/inlmath] jednak je a) [inlmath]4[/inlmath]; b) [inlmath]2[/inlmath]; v) [inlmath]3[/inlmath]
Znam da rešim ovaj zadatak, jednostavan je, ali ne znam šta da radim kad mi daju neki interval pa da nađem rešenje u tom intervalu.
Znam ako mi daju npr interval [inlmath](1,3)[/inlmath] onda zamenim [inlmath]k\;(k\in\mathbb{Z})[/inlmath] sa [inlmath]2[/inlmath] u rešenju, ali nzm kad mi daju [inlmath]\pi[/inlmath]. Pa ako može neko da mi objasni.

Dobijaju se rešenja
[dispmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\lor\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi\quad\lor\quad x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/dispmath]
I sad možeš to uraditi grafički (tj. predstavljanjem dobijenih rešenja i zadatog intervala na trigonometrijskoj kružnici) ili računski. Preporučujem grafički način (manje je posla), ali pokazaću oba.

Grafički:
Rešenja predstavljena na trigonometrijskoj kružnici obeležio sam crvenom bojom:


Dakle, slično kao onaj „peace-sign“. Zatim predstavimo i zadati interval (obeležio sam ga zeleno, s tim što sam donju granicu na [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath] podebljao, kako bi bilo uočljivo da i ta granica pripada intervalu):


Sad samo treba videti koliko ima rešenja (s prethodne slike) koja se nalaze unutar tog zeleno obeleženog intervala.

Napomena – u slučaju da je interval koji je zadat duži od [inlmath]2\pi[/inlmath], npr. [inlmath]\left[-\pi,2\pi\right)[/inlmath], tada treba voditi računa o tome da se neka od različitih rešenja, zbog periodičnosti, mogu na trigonometrijskoj kružnici poklapati.

Računski:
Za svaki od dobijena tri skupa rešenja tražiš takvo [inlmath]k[/inlmath] koje će pripadati traženom intervalu. Npr. za [inlmath]x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]:
[dispmath]-\frac{\pi}{2}\le x<\pi\\
\left.-\frac{\pi}{2}\le-\frac{5\pi}{6}+2k\pi<\pi\quad\right/:\left(2\pi\right)\\
-\frac{1}{4}\le-\frac{5}{12}+k<\frac{1}{2}[/dispmath]
Dodamo [inlmath]\frac{5}{12}[/inlmath] na svaki od ova tri izraza,
[dispmath]-\frac{1}{4}+\frac{5}{12}\le k<\frac{1}{2}+\frac{5}{12}\\
\frac{1}{6}\le k<\frac{11}{12}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]k[/inlmath] celobrojno, vidimo da za skup rešenja [inlmath]x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] ne postoje rešenja po [inlmath]k[/inlmath] na traženom intervalu [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},\pi\right)[/inlmath].

Za skup rešenja [inlmath]x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]:
[dispmath]\left.-\frac{\pi}{2}\le-\frac{\pi}{6}+2k\pi<\pi\quad\right/:\left(2\pi\right)\\
-\frac{1}{4}\le-\frac{1}{12}+k<\frac{1}{2}[/dispmath]
Dodamo [inlmath]\frac{1}{12}[/inlmath] na svaki od ova tri izraza,
[dispmath]-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\le k<\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\\
-\frac{1}{6}\le k<\frac{1}{4}\\
\Rightarrow\quad\enclose{box}{k=0}[/dispmath]
pa se skup rešenja [inlmath]x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] svodi na rešenje [inlmath]x=-\frac{5\pi}{6}[/inlmath].

Tebi prepuštam da isto to odradiš i za skup rešenja [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]. Dobićeš dve vrednosti po [inlmath]k[/inlmath], to su [inlmath]k=-1[/inlmath] i [inlmath]k=0[/inlmath], što daje rešenja [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath].

Zajedno s rešenjem [inlmath]x=-\frac{5\pi}{6}[/inlmath], to je ukupno tri rešenja na traženom intervalu.

Hvala!
Ja sam pisao rešenja [inlmath]x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] a interval [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath] sam pretvorio u [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath] i time sam obuhvatio samo rešenja u trećem kvadrantu. Lepo je kad te neko ukaže na pravi put, HVALA!

Imam jedno dodatno pitanje, znači dobili smo da je kosinus [inlmath]\pm\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Ja sam svuda video da onda autori pišu u zbirkama bez predznaka [inlmath]\pm[/inlmath]. PItanje je, znači ja i plus i minus [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] uvrštavam u rešenja?

Ovo ne razumem:

Nenad je napisao:Imam jedno dodatno pitanje, znači dobili smo da je kosinus [inlmath]\pm\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Ja sam svuda video da onda autori pišu u zbirkama bez predznaka [inlmath]\pm[/inlmath]. PItanje je, znači ja i plus i minus [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] uvrštavam u rešenja?

Da li razlikuješ [inlmath]\arccos(x)[/inlmath] od funkcije [inlmath]\cos(x)[/inlmath]?
Arcus je na latinskom duga, luk, slavoluk itd.
A ovde je ugao.
Dakle arkus je ugao čiji kosinus u stepenima ili radijanima iznosi toliko koliko je zadat.
primer:
[dispmath]\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0[/dispmath][dispmath]\arccos\left(0\right)=\frac{\pi}{2}[/dispmath]
Ugao (arkus) čiji je kosinus [inlmath]0[/inlmath] je jedan ugao, plus umnošci tog ugla.
Ne znam da li se razumemo?

Nenad je napisao:Ja sam pisao rešenja [inlmath]x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]

Pa, dobro. Da l' ćeš pisati [inlmath]x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] ili ćeš pisati [inlmath]x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], isti đavo – zbog periodičnosti, tj. zbog sabirka [inlmath]+2k\pi[/inlmath].
Isto i za zapis [inlmath]x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] ili [inlmath]x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath].

Nenad je napisao:a interval [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath] sam pretvorio u [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath]

[inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath] nikako ne može biti interval. Interval je određen dvema vrednostima – donjom i gornjom granicom.

A ovaj deo ni ja ne razumem:

Nenad je napisao:Imam jedno dodatno pitanje, znači dobili smo da je kosinus [inlmath]\pm\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Ja sam svuda video da onda autori pišu u zbirkama bez predznaka [inlmath]\pm[/inlmath]. PItanje je, znači ja i plus i minus [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] uvrštavam u rešenja?

Kosinus nikako ne može biti [inlmath]\pm\frac{\pi}{2}[/inlmath], jer je [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] veće od [inlmath]1[/inlmath], a [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath] je manje od [inlmath]-1[/inlmath]. A znamo da se kosinus mora nalaziti unutar intervala [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath].

Možda si (ovo samo nagađam) hteo da pitaš za slučaj kad imamo jednačinu [inlmath]\cos x=0[/inlmath] pa kao rešenja dobijemo [inlmath]x=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]? To se tada može napisati u obliku [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], dakle bez [inlmath]\pm[/inlmath], ali primeti da tada imamo sabirak [inlmath]+k\pi[/inlmath] umesto [inlmath]+2k\pi[/inlmath]. To se svodi na taj oblik na sledeči način:
[dispmath]x=\pm\frac{\pi}{2}+2k\pi\\
x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\lor\quad x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\\
x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{2}-\pi+2k\pi\\
x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{2}+\left(2k-1\right)\pi[/dispmath]
što znači da u prvom skupu rešenja na [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] dodajemo paran umnožak broja [inlmath]\pi[/inlmath], dok u drugom skupu rešenja na [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] dodajemo neparan umnožak broja [inlmath]\pi[/inlmath].
Objedinjavanjem ta dva skupa dolazimo do toga da na [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] dodajemo i parne i neparne umnoške broja [inlmath]\pi[/inlmath], a pošto i parni i neparni brojevi čine skup celih brojeva, to znači da zapravo dodajemo celobrojni umnožak broja [inlmath]\pi[/inlmath], tj. dodajemo [inlmath]k\pi[/inlmath]:
[dispmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath]

Pa to je moja slaba strana, ne ide mi objašnjavanje xD Ali trenutno mi je najvažnije da sam ja vas sve razumeo.
Nisam stigao ranije da vam odgovorim jer odjednom imam sto obaveza i to sad pred prijemni, ali nema veze, možda je tako i bolje, veći izazov.
I želim svim da se zahvalim koji su mi pomogli (a i koji će mi ubuduće pomagati xD) i želeo bih da vas jednom častim kad dođem do para.