MATEMANIJA

Zanima me kako bih mogla uraditi ovaj zadatak:
Ako je
[dispmath]\sin(x)-\cos(x)=\frac{1}{\sqrt5}\tag{1}[/dispmath]
i
[dispmath]\sin(x)+\cos(x)>0\tag{2}[/dispmath]
onda je vrijednost izraza
[dispmath]\sin(2x)+\cos(2x)\tag{3}[/dispmath]
jednaka?

Prvo sam kvadrirala izraz [inlmath](1)[/inlmath], a izraz [inlmath](2)[/inlmath] prevela kao sinus i kosinus dvostrukog ugla. Potom sam iz kvadriranog izraza [inlmath](1)[/inlmath] izrazila sinus dvostrukog ugla i uvrstila u pretvoren izraz [inlmath](2)[/inlmath]. Iz toga sam izrazila [inlmath]\cos^2(x)[/inlmath], međutim ne mogu dobiti tačno rešenje.

Hvala puno!

P.S. Izvinjavam se ako sam prekršila neko pravilo

Pa ako je tačno rešenje [inlmath]\frac{9}{5}[/inlmath], onda sam uspeo dobro da ga uradim
Dakle, dobro si valjda započela, i ja sam tako. I sad kada rastaviš [inlmath]\sin2x+\cos2x[/inlmath] na [inlmath]\cos^2x-\sin^2x+2\cdot\sin x\cdot\cos x[/inlmath], pa onda ovo na : [inlmath](\cos x-\sin x)^2+4\cdot\sin x\cdot\cos x[/inlmath]. iz onog prvog izraza, kada ga kvadriraš, sledi da je [inlmath]\frac{1}{5}+2\cdot2\cdot\sin x\cdot\cos x[/inlmath].
E sad se vratiš na ono početno kvadriranje, i nađeš vrednost [inlmath]2\cdot\sin x\cdot\cos x[/inlmath].
Kod mene je to [inlmath]\frac{8}{5}[/inlmath]. Ostalo već znaš.
Nadam se da je ovako dobro.

Ivančica je napisao:P.S. Izvinjavam se ako sam prekršila neko pravilo

Bez brige, lepo si postavila pitanje, doduše imala si neke greške u Latexu, al' ništa strašno – vidim da je Onomatopeja ispravio (pre sin i cos treba pisati „\“ (backslash) – uoči razliku: [inlmath]sin x[/inlmath] i [inlmath]\sin x[/inlmath]
I da, veoma bitno – uvek kad znaš konačno rešenje koje treba da se dobije – napiši ga. Primetio sam da mnogi kao da kriju taj podatak kad postavljaju zadatke, a zaista mi nije jasno zbog čega.

Ivančica je napisao:Prvo sam kvadrirala izraz [inlmath](1)[/inlmath],

Prilikom kvadriranja gubi se informacija o predznaku leve i desne strane, zbog toga je potrebno pre kvadriranja postaviti uslove (ovde, konkretno, leva strana mora biti pozitivna jer je pozitivna i desna).

Ivančica je napisao:a izraz [inlmath](2)[/inlmath] prevela kao sinus i kosinus dvostrukog ugla.

Ovaj deo nisam razumeo, ako može pojašnjenje?

samaras7 je napisao:na [inlmath]\cos^2x-\sin^2x+2\cdot\sin x\cdot\cos x[/inlmath], pa onda ovo na : [inlmath](\cos x-\sin x)^2+4\cdot\sin x\cdot\cos x[/inlmath].

Ne možeš ovo ovako transformisati, jer ispred [inlmath]\sin^2x[/inlmath] imaš minus a ne plus.
Kao konačno rešenje treba da se dobije [inlmath]\frac{1}{5}[/inlmath].

Evo kako ide, Daniele ispravi me ako sam pogresio nesto:

Kvadriranjem izraza [inlmath](1)[/inlmath], uz vodjenje racuna da je leva strana pozitivna kao i desna, kao sto je Daniel naglasio, dobija se
[dispmath]\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=\frac{1}{5}[/dispmath][dispmath]1-2\sin x\cos x=\frac{1}{5}[/dispmath]
[dispmath]\sin x\cos x=\frac{2}{5}\tag1[/dispmath][dispmath]\sin x-\cos x=\frac{1}{\sqrt5}\tag2[/dispmath]
Sad resis sistem od [inlmath](1)[/inlmath] i [inlmath](2)[/inlmath]. Ja sam isao tako sto sam izrazio [inlmath]\sin x[/inlmath] iz [inlmath](2)[/inlmath] i zamenio u [inlmath](1)[/inlmath].
Dobice se [inlmath]\cos x=\frac{1}{\sqrt5}[/inlmath], drugo resenje [inlmath]\frac{-2}{\sqrt5}[/inlmath] se odbacuje zbog uslova da je zbir a i razlika sinusa i kosininusa veci od nule, sto znaci da su oba pozitivna.


[inlmath]\sin x[/inlmath] je naravno kada vratis vrednost [inlmath]\cos x[/inlmath] u [inlmath](2)[/inlmath] je [inlmath]\sin x=\frac{2}{\sqrt5}[/inlmath], gde je zbir sinusa i kosinusa sada [inlmath]\frac{3}{\sqrt5}[/inlmath]


E sad na izraz
[dispmath]\sin2x+\cos2x[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos x-\left(\sin^2x-\cos^2x\right)[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos x-(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)[/dispmath][dispmath]\frac{4}{5}-\frac{1}{\sqrt5}\frac{3}{\sqrt5}[/dispmath][dispmath]\frac{4}{5}-\frac{3}{5}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{5}[/dispmath]

samaras7 je napisao:Pa ako je tačno rešenje [inlmath]\frac{9}{5}[/inlmath], onda sam uspeo dobro da ga uradim

Nažalost, to nije jedno od ponuđenih, ali hvala u svakom slučaju

Daniel je napisao:

Ivančica je napisao:a izraz [inlmath](2)[/inlmath] prevela kao sinus i kosinus dvostrukog ugla.

Ovaj deo nisam razumeo, ako može pojašnjenje?

Tu sam samo prevela [inlmath]\sin2x[/inlmath] u [inlmath]2\cdot\sin x\cdot\cos x[/inlmath] kao i kosinus

Daniel je napisao:I da, veoma bitno – uvek kad znaš konačno rešenje koje treba da se dobije – napiši ga. Primetio sam da mnogi kao da kriju taj podatak kad postavljaju zadatke, a zaista mi nije jasno zbog čega.

Izvinjavam se zbog toga, jedno od ponuđenih jeste bilo [inlmath]\frac{1}{5}[/inlmath]


jovanmilic97, hvala puno! Sada mi je jasno

Sada sam pokušala uraditi zadata postupno kao što ste napisali, međutim ne mogu da dobijem ništa od toga. Ne mogu da uočim gdje griješim. Kada dobijem sistem, pokušam ga uraditi tako što izrazim [inlmath]\sin x[/inlmath] iz [inlmath]\sin x-\cos x=\frac{1}{\sqrt5}[/inlmath] i uvrstim u [inlmath]\sin x\cos x=\frac{2}{5}[/inlmath]. Tu dobijem jednačinu [inlmath]\frac{\cos x}{\sqrt5}+\cos^2x=\frac{2}{5}[/inlmath], kada to sredim i uvedem smjenu dobijem rešenja: [inlmath]\frac{-\sqrt5-5}{10}[/inlmath] i [inlmath]\frac{-\sqrt5+5}{10}[/inlmath]

e sad ne znam šta dalje, da li se to može neko transformisati da dođem do [inlmath]\frac{1}{\sqrt5}[/inlmath] ili sam sve radila pogrešno?

Ivančica je napisao:

Daniel je napisao:

Ivančica je napisao:a izraz [inlmath](2)[/inlmath] prevela kao sinus i kosinus dvostrukog ugla.

Ovaj deo nisam razumeo, ako može pojašnjenje?

Tu sam samo prevela [inlmath]\sin2x[/inlmath] u [inlmath]2\cdot\sin x\cdot\cos x[/inlmath] kao i kosinus

Upravo zato sam i pitao, jer u [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] nigde nemaš [inlmath]\sin2x[/inlmath] i [inlmath]\cos2x[/inlmath].
[inlmath]\left(2\right)[/inlmath] ti glasi [inlmath]\sin(x)+\cos(x)>0[/inlmath].

Ivančica je napisao:Tu dobijem jednačinu [inlmath]\frac{\cos x}{\sqrt5}+\cos^2x=\frac{2}{5}[/inlmath], kada to sredim i uvedem smjenu dobijem rešenja: [inlmath]\frac{-\sqrt5-5}{10}[/inlmath] i [inlmath]\frac{-\sqrt5+5}{10}[/inlmath]

Jednačina ti je u redu, ali su ti rešenja pogrešna. Znači, imaš grešku u samom rešavanju jednačine.

Molim te da u Latexu pre sin i cos stavljaš backslash (\), već ti je bila skrenuta pažnja na to.
Takođe, pravi razliku između inlinemath i equation-tagova. Dok ovi prvi postavljaju izraz unutar tekućeg reda, ovi drugi ih izdvajaju u zaseban red. Očigledno da u tvom postu nije bilo potrebe da svaki od izraza bude u zasebnom redu, zato sam equation-tagove zamenio inlinemath-tagovima, kako bi post zauzeo manje prostora i time se dobilo na preglednosti.

jovanmilic97 je napisao:zbog uslova da je zbir a i razlika sinusa i kosininusa veci od nule, sto znaci da su oba pozitivna.

Imali smo, znači,
[dispmath]\sin x+\cos x>0\\
\sin x-\cos x>0[/dispmath]
sabiranjem ovih jednačina dobija se [inlmath]2\sin x>0[/inlmath], što znači da sinus zaista jeste pozitivan. Međutim, oduzimanjem ovih jednačina dobija se [inlmath]2\cos x=?[/inlmath]
Na desnoj strani je znak pitanja jer smo imali oduzimanje pozitivne veličine od pozitivne veličine, što nam kao rezultat može dati i pozitivnu i negativnu veličinu. Prema tome, ne možemo odavde odrediti predznak kosinusa.
Zato je bilo korektnije da, umesto da iz druge jednačine sinus izraziš preko kosinusa, uradiš obrnuto – da kosinus izraziš preko sinusa i onda to uvrstiš u prvu jednačinu. Time dobijamo kvadratnu jednačinu po sinusu (za koji znamo da je pozitivan), umesto po kosinusu (za koji to ne znamo).


Pokazaću ja kasnije i svoju ideju za (rekao bih, dosta jednostavnije) rešavanje ovog zadatka.

@Daniel Ne znam sta mi bi, hvala sto si primetio.

@Ivancica Dakle imamo kvadratnu jednacinu
[dispmath]\cos^2x+\frac{1}{\sqrt5}\cdot\cos x-\frac{2}{5}=0\\
\cos x=\frac{-\frac{1}{\sqrt5}\pm\sqrt{\frac{1}{5}+\frac{4\cdot2}{5}}}{2}\\
\cos x=\frac{-\frac{1}{\sqrt5}\pm\frac{3}{\sqrt5}}{2}[/dispmath]
Odatle ti je
[dispmath]\cos x=\frac{1}{\sqrt5}\;\lor\;-\frac{2}{\sqrt5}[/dispmath]

Evo i tog mog načina koji sam obećao.

Dakle, kvadriramo [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], postavljajući uslov da je leva strana pozitivna (jer je pozitivna i desna), tj. [inlmath]\sin x-\cos x>0[/inlmath]:
[dispmath]\left(\sin x-\cos x\right)^2=\frac{1}{5}\\
\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=\frac{1}{5}\\
1-\sin2x=\frac{1}{5}\\
\sin2x=\frac{4}{5}[/dispmath]
Pošto imamo uslov da je [inlmath]\sin x-\cos x>0[/inlmath], kao i uslov [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] da je [inlmath]\sin x+\cos x>0[/inlmath], to će i njihov proizvod biti pozitivan:
[dispmath]\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin x+\cos x\right)>0[/dispmath]
i prepoznamo da je to razlika kvadrata u faktorisanom obliku,
[dispmath]\sin^2x-\cos^2x>0[/dispmath]
odakle sledi
[dispmath]\cos^2x-\sin^2x<0\\
\cos2x<0[/dispmath]
Pošto smo već našli [inlmath]\sin2x[/inlmath], možemo sada naći i [inlmath]\cos2x[/inlmath]:
[dispmath]\cos2x=\pm\sqrt{1-\sin^22x}[/dispmath]
a pošto smo malopre zaključili da je [inlmath]\cos2x[/inlmath] negativan, ispred korena uzimamo minus:
[dispmath]\cos2x=-\sqrt{1-\sin^22x}\\
\cos2x=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}\\
\cos2x=-\sqrt{\frac{9}{25}}\\
\cos2x=-\frac{3}{5}[/dispmath]
I na kraju je ostalo još da saberemo [inlmath]\sin2x[/inlmath] i [inlmath]\cos2x[/inlmath]:
[dispmath]\sin2x+\cos2x=\frac{4}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right)\\
\enclose{box}{\sin2x+\cos2x=\frac{1}{5}}[/dispmath]

Aha, sad je jasno, hvala puno! Izvinjavam se zbog grešaka.