MATEMANIJA

Secam se da sam u prvom razredu srednje radio trigonometriju ali samo sa nekim trouglovima, a ovo sto mi treba za prijemni ne znam pa ako neko moze da objasni bar malo
[dispmath](\sin2x+\cos2x)^2=\sin4x[/dispmath]
koliko ima resenja na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath].

Znam formule za [inlmath]\sin2x[/inlmath], [inlmath]\cos2x[/inlmath] i kvadrat zbira naravno, ali ne znam kako da rastavim ovo, da li treba da bude u obliku sabiraka, mnozilaca ili uopste ne treba da se rastavlja ? I kako uopste da ubacim taj interval kasnije. .

Jesi li siguran da je plus izmedju [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] na levoj strani, Jer dobijes ovo
[dispmath]\sin^22x+\cos^22x+2\sin2x\cos2x=\sin4x\\
1+\sin4x=\sin4x[/dispmath]
Sa minusom izmedju [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] dobijes
[dispmath]1-2\sin4x=0[/dispmath]

Moja greska, u pitanju je minus, ali sta dalje da radim sa tim
[dispmath]1-2\sin4x=0[/dispmath]
?

Dakle:
[dispmath]\sin4x=\frac{1}{2}[/dispmath]
I imas dva slucaja (naravno [inlmath]\frac{\pi}{6}+2k\pi\;\lor\;\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]), [inlmath]2k\pi[/inlmath] dodajes kao period, a [inlmath]\sin[/inlmath] je jednak [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] za ugao od [inlmath]30[/inlmath] stepeni tj. [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath], a drugi slucaj je UVEK [inlmath]\pi[/inlmath] MINUS ugao tj. [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] koji je u prvom slucaju. To vazi kada imas jednacinu po sinusu.

Sada treba da zamenis [inlmath]k[/inlmath] sa nekim brojem koji ce ti dati ugao koji se nalazi u tom intervalu koji si spomenuo. Ima i graficki nacin koliko znam, koji bih voleo da obnovim ako Daniel bode voljan da pomogne.

Evo primer (nisam kod kuce da bih ti pomogao sa svim resenjima)
[dispmath]4x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\\
x=\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath]
U slucaju da je [inlmath]k=0[/inlmath] tada bi [inlmath]x=\frac{\pi}{24}[/inlmath] sto bi ako se ne varam trebalo da spada u resenje, itd .

Tako dalje radis za [inlmath]k=1,2,\ldots[/inlmath] itd. (jer za negativne vrednosti sigurno neces imati resenje u intervalu) pa dok ne dodjes do resenja koji ne pripada intervalu.

Znaci ako sam dobro izracunao postoje [inlmath]4[/inlmath] resenja za prvi i za drugi slucaj i identicna su: [inlmath]k=0,\;k=1,\;k=2,\;k=3[/inlmath] , da li to znaci da ima [inlmath]4[/inlmath] resenja ili [inlmath]8[/inlmath]?

Hvala puno na odgovorima

Resenja gledas po [inlmath]x[/inlmath], a ne po [inlmath]k[/inlmath]. To znaci [inlmath]8[/inlmath] resenja (ako si dobro odredio, videcu kad dodjem kuci).

Potvrdjujem da ima [inlmath]8[/inlmath] resenja, ako sam dobro uradio:
[dispmath]\frac{\pi}{24},\frac{13\pi}{24},\frac{25\pi}{24},\frac{37\pi}{24},\frac{5\pi}{24},\frac{17\pi}{24},\frac{29\pi}{24},\frac{41\pi}{24}[/dispmath]

jovanmilic97 je napisao:[dispmath]x=\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath]
U slucaju da je [inlmath]k=0[/inlmath] tada bi [inlmath]x=\frac{\pi}{24}[/inlmath] sto bi ako se ne varam trebalo da spada u resenje, itd .

Tako dalje radis za [inlmath]k=1,2,\ldots[/inlmath] itd. (jer za negativne vrednosti sigurno neces imati resenje u intervalu)

Ipak nije zgoreg i to proveriti. Za [inlmath]k=-1[/inlmath] imamo [inlmath]x=\frac{\pi}{24}-\frac{\pi}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]x=-\frac{11\pi}{24}[/inlmath], što znači da smo za [inlmath]k=-1[/inlmath] izašli izvan intervala.

jovanmilic97 je napisao:Ima i graficki nacin koliko znam, koji bih voleo da obnovim ako Daniel bode voljan da pomogne.

Što se tiče grafičkog načina preko trigonometrijske kružnice, o tome sam pisao ovde pre nekoliko dana, da se sad ne ponavljam.

Postoji i grafički način preko skiciranja funkcije. Za funkciju [inlmath]y=\sin x[/inlmath] znamo da izgleda ovako,


tj. da joj je osnovni period [inlmath]2\pi[/inlmath].
Pošto imamo jednačinu [inlmath]\sin4x=\frac{1}{2}[/inlmath], potrebno je skicirati funkciju [inlmath]y=\sin4x[/inlmath]. Kako je koeficijent uz [inlmath]x[/inlmath] četiri puta veći nego kod funkcije [inlmath]y=\sin x[/inlmath] (kod koje je taj koeficijent [inlmath]1[/inlmath]), to znači da će na grafiku sinusoide biti četiri puta „sabijenije“, tj. četiri puta gušće raspoređene, a da će osnovni period biti četiri puta manji, tj. sad neće biti [inlmath]2\pi[/inlmath], nego će biti [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]:


Na grafiku je takođe skicirana i funkcija [inlmath]y=\frac{1}{2}[/inlmath] (koja predstavlja ravnu horizontalnu liniju jer je konstanta, tj. ne zavisi od [inlmath]x[/inlmath]), a ta funkcija predstavlja desnu stranu jednačine [inlmath]\sin4x=\frac{1}{2}[/inlmath]. Za one vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje je jednačina zadovoljena, ove dve funkcije će na grafiku imati zajedničke tačke, tj. preseke. Sad je samo potrebno izbrojati koliko tih preseka ima u zadatom intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath].