MATEMANIJA

Treba mi rešenje ove jednačine koje iznosi [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi[/inlmath], međutim ja nemam pojma kako su došli do toga.
[dispmath]\sin^4x-\cos^4x=\cos x[/dispmath]
Prvo što sam uradila jeste da sam razdvojila [inlmath]\sin^4x-\cos^4x[/inlmath] kao razliku kvadrata. Tu sam dobila [inlmath]\sin^2x-\cos^2x[/inlmath] koje sam pretvorila u [inlmath]1-2\cos^2 x[/inlmath]. Onda dobijem kv. jednačinu u koju sam uvrstila smjenu i odatle dobijem da je [inlmath]t=-1[/inlmath] i [inlmath]t=\frac{1}{2}[/inlmath]. Kada u to uvrstim [inlmath]\cos x[/inlmath] dobijem rešenja [inlmath]x=\pi+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] i ništa mi nije jasno.

Ja koliko vidim dobra su ti sva 3 resenja. Verovatno je u pitanju neka greska.

Ono resenje koje si napisala bi figurisalo da se radilo o [inlmath]\sin3x[/inlmath] i [inlmath]\cos3x[/inlmath], sto ovde nije slucaj.

Aha, e dobro je, hvala

Kad sam već ovdje, da li to znači da bi mi zbir rešenja na intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath] bio jednak [inlmath]3\pi[/inlmath]?

Hoce. Kod mene su resenja ova (za [inlmath]k=0[/inlmath] u prva 2 slucaja i [inlmath]k=1[/inlmath] u poslednjem slucaju):
[dispmath]\pi,\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}[/dispmath]
I zbir je [inlmath]3\pi[/inlmath], kao sto si i navela.

Ivančica je napisao:Treba mi rešenje ove jednačine koje iznosi [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi[/inlmath], međutim ja nemam pojma kako su došli do toga.
[dispmath]\sin^4x-\cos^4x=\cos x[/dispmath]

Tačno je i vaše i njihovo rešenje.
Naime, vi ste dobili [inlmath]x=\pi+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath], koja možemo napisati i na sledeći način:
[dispmath]x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\left(3k\right)\pi\\
x=\pi+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\left(3k+1\right)\pi\\
x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\left(3k-1\right)\pi[/dispmath]
Primećujemo da se ovako zapisani skupovi rešenja razlikuju samo po onom delu u zagradi – kod prvog skupa rešenja to je [inlmath]3k[/inlmath], kod drugog skupa je [inlmath]3k+1[/inlmath] i kod trećeg skupa je [inlmath]3k-1[/inlmath]. E sad uočimo da svi celi brojevi oblika [inlmath]3k[/inlmath], svi celi brojevi oblika [inlmath]3k+1[/inlmath] i svi celi brojevi oblika [inlmath]3k-1[/inlmath] zajedno čine – ceo skup celih brojeva (jer je npr. broj oblika [inlmath]3k+2[/inlmath] isto što i broj oblika [inlmath]3k-1[/inlmath]).
Prema tome, ova tri skupa rešenja možemo spojiti u jedan, pri čemu umesto [inlmath]3k[/inlmath], [inlmath]3k+1[/inlmath] i [inlmath]3k-1[/inlmath] pišemo, jednostavno, [inlmath]k[/inlmath]:
[dispmath]\enclose{box}{x=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}}[/dispmath]

---

Mogli smo u to da se uverimo i posmatranjem rešenja na trigonometrijskoj kružnici:


Kad su rešenja ovako grafički predstavljena, lako uočavamo da su ona po kružnici poređana ekvidistantno, tj. razlika između svaka dva uzastopna rešenja je uvek ista:

• između [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] razlika je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath];
• između [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath] razlika je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath];
• između [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] razlika je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath];
• između [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{7\pi}{3}[/inlmath] razlika je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath];
  itd...

Drugim rečima, rešenja čine aritmetički niz čija razlika iznosi [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath].

Zbog toga sva ta rešenja možemo zapisati tako što uočimo bilo koje konkretno rešenje (npr. [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath]) i na njega dodamo celobrojni umnožak vrednosti [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath]. Dakle, [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath].

Takođe bi bilo ispravno i da smo rešenje napisali i u obliku [inlmath]x=-\frac{\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath], ili [inlmath]x=\pi+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath], ili [inlmath]x=\frac{5\pi}{3}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath] itd. itd.

Aha, hvala Znači u suštini to njihovo rešenje, nije ništa "tačnije" od ovog koje sam ja dobila?

Oba rešenja, i tvoje i njihovo, podjednako su tačna, ali je njihovo zapisano na lepši način.