Prijemni ispit ETF - 27. jun 2016.
20. zadatak
Ukupan broj realnih rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\cos x+\cos2x+2\cos^2\frac{3x}{2}+\cos4x=\frac{1}{2}[/inlmath] na segmentu [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath] jednak je:
Rezultat glasi: [inlmath]8[/inlmath]
Dosta ljudi me pitalo za ovaj zadatak, koji je kanda bio jedan od najvećih kamena spoticanja na ovogodišnjem prijemnom za ETF. Pa haj'mo da ga rešimo.
Ovaj kvadrat kosinusa nas odmah na početku nekako „vuče“ da ga napišemo preko formule za kosinus polovine ugla, [inlmath]2\cos^2\frac{\alpha}{2}=1+\cos\alpha[/inlmath]:
[dispmath]2\cos^2\frac{3x}{2}=1+\cos3x[/dispmath]
te naša jednačina postaje
[dispmath]\cos x+\cos2x+1+\cos3x+\cos4x=\frac{1}{2}[/dispmath]
Malo to pregrupišemo,
[dispmath]\cos x+\cos3x+\underbrace{\cos2x+\cos4x}+\frac{1}{2}=0[/dispmath]
Na ovo [inlmath]\cos2x+\cos4x[/inlmath] primenimo transformaciju zbira kosinusa u proizvod, [inlmath]\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}[/inlmath]:
[dispmath]\cos x+\cos3x+2\cos3x\cos x+\frac{1}{2}=0[/dispmath]
pa sad grupišemo sabirke koji sadrže [inlmath]\cos x[/inlmath] i sabirke koji ne sadrže [inlmath]\cos x[/inlmath]:
[dispmath]\cos x+2\cos3x\cos x+\cos3x+\frac{1}{2}=0\\
\cos x\left(1+2\cos3x\right)+\frac{1}{2}\left(2\cos3x+1\right)=0[/dispmath]
Izvučemo zajednički faktor [inlmath]\left(1+2\cos3x\right)[/inlmath],
[dispmath]\left(1+2\cos3x\right)\left(\cos x+\frac{1}{2}\right)=0\\
\cos3x=-\frac{1}{2}\quad\lor\quad\cos x=-\frac{1}{2}\\
\vdots[/dispmath]
Dalje je lako...