MATEMANIJA

Pozdrav ljudi, mali problem oko algebarskog rešavanja ove trigonometrijske jednačine:
[dispmath]3\text{ tg }3x-4\text{ tg }2x=(\text{tg }2x)^2\cdot\text{tg }3x[/dispmath]
Ako se uvede smena [inlmath]z=\text{tg }x[/inlmath], jednačina preko formula za dvostruke i trostruke uglove dobija sledeći oblik:
[dispmath]3\cdot\frac{z^3-3z}{3z^2-1}-4\cdot\frac{2z}{1-z^2}=\left(\frac{2z}{1-z^2}\right)^2\cdot\frac{z^3-3z}{3z^2-1}[/dispmath]
Daljim "sređivanjem" dobio sam jednačinu oblika:
[dispmath]3z^7+5z^5+z^3-z=0[/dispmath]
E tu je problem, kako ovo da rešim? Očigledno je da je jedno rešenje [inlmath]z=0[/inlmath] i iz tog rešenja jasno vidimo da je [inlmath]x=\pi k,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath], što u rešenjima na kraju zbirke i jeste navedeno, ali kako da nađem ostala? Preko sajta http://www.symbolab.com dobio sam još neka rešenja, ali zanima me kako to sam da uradim, pošto neću u svakom zadatku imati sreće kao u ovom da iz prvog očiglednog rešenja pogodim rešenje celog zadatka. Takođe ako neko ima neki savet kako da preko nekih drugih trigonometrijskih identiteta izbegnem ovako glomaznu jednačinu dobro bi i to došlo! Nadam se da sam jasno objasnio problem, hvala na ukazanom vremenu!

Pozdrav, dobro došao na forum.

Ako si već krenuo tim putem (pokazaću posle i drugi način) pa došao do jednačine
[dispmath]3\cdot\frac{z^3-3z}{3z^2-1}-4\cdot\frac{2z}{1-z^2}=\left(\frac{2z}{1-z^2}\right)^2\cdot\frac{z^3-3z}{3z^2-1}[/dispmath]
onda, nakon množenja obe strane sa [inlmath]\left(1-z^2\right)^2\left(3z^2-1\right)[/inlmath] (pri čemu nemoj zaboraviti da postaviš uslove da su imenioci različiti od nule), dolaziš do oblika
[dispmath]3\left(z^3-3z\right)\left(1-z^2\right)^2-8z\left(1-z^2\right)\left(3z^2-1\right)=4z^2\left(z^3-3z\right)[/dispmath]
i sad grupiši sabirke koji sadrže faktor [inlmath]\left(z^3-3z\right)[/inlmath], malo sredi i dobićeš
[dispmath]\left(z^3-3z\right)\left(3z^4-10z^2+3\right)-8z\left(1-z^2\right)\left(3z^2-1\right)=0[/dispmath]
Nakon faktorizacije bikvadratnog trinoma [inlmath]\left(3z^4-10z^2+3\right)[/inlmath] dobičeš zajednički [inlmath]\left(3z^2-1\right)[/inlmath] na celoj levoj strani jednačine, koji ćeš moći da izvučeš (ovaj faktor ne može biti nula zbog prethodno postavljenih uslova, pa možeš i da ga eliminišeš).

ffilipovicc98 je napisao:Očigledno je da je jedno rešenje [inlmath]z=0[/inlmath] i iz tog rešenja jasno vidimo da je [inlmath]x=\pi k , k\in \mathbb{Z}[/inlmath], što u rešenjima na kraju zbirke i jeste navedeno, ali kako da nađem ostala? Preko sajta http://www.symbolab.com dobio sam još neka rešenja,

Ne bi trebalo da si dobio još neka rešenja, [inlmath]z=0[/inlmath] je jedino rešenje, tj. zadata jednačina nema druga rešenja osim [inlmath]x=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath]. Možda nisi vodio računa o uslovima definisanosti jednačine, zbog kojih neka rešenja otpadaju?

ffilipovicc98 je napisao:Takođe ako neko ima neki savet kako da preko nekih drugih trigonometrijskih identiteta izbegnem ovako glomaznu jednačinu dobro bi i to došlo!

Pa, ja bih u startu sve ove tangense pretvorio u količnike sinusa i kosinusa. Nakon postavljanja uslova različitosti imenioca od nule i sređivanja, dobio bih
[dispmath]\vdots\\
3\sin3x-4\sin3x\sin^22x-4\sin2x\cos2x\cos3x=0[/dispmath]
zatim sve gde mi figuriše [inlmath]2x[/inlmath] izrazim preko trigonometrijskih funkcija polovine ugla, tako da u argumentima dobijem [inlmath]4x[/inlmath],
[dispmath]3\sin3x-2\sin3x\left(1-\cos4x\right)-2\sin4x\cos3x=0\\
\vdots\\
\sin3x+2\underbrace{\left(\sin3x\cos4x-\sin4x\cos3x\right)}_{-\sin x}=0[/dispmath]
Razvijanjem [inlmath]\sin3x[/inlmath] preko adicione za [inlmath]\sin\left(2x+x\right)[/inlmath] dobijaju se rešenja [inlmath]\sin x=0[/inlmath] i [inlmath]\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], pri čemu [inlmath]\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] otpada zbog uslova koji su na početku postavljeni...

ffilipovicc98 je napisao:Nadam se da sam jasno objasnio problem, hvala na ukazanom vremenu!

Sasvim jasno, vrlo si lepo postavio pitanje.

Hvala na dobrodošlici i brzom odgovoru, sve je jasno sad, trigonometrijskim putem je mnogo lakše nego što sam mislio, naravno uz postavljanje uslova koje nisam naveo u prvom postu. Inače ovo što sam zakomplikovao [inlmath]3z^7+5z^5+z^3-z=0[/inlmath] može da se svede na kubnu jednačinu:
[dispmath]3z^7+5z^5+z^3-z=0\\
z\cdot\left(3z^6+5z^4+z^2-1\right)=0\\
z=0\qquad\lor\qquad 3z^6+5z^4+z^2-1=0[/dispmath]
Prvo grananje je jasno, a posle smene [inlmath]t=z^2[/inlmath] u drugom grananju se dobija kubna jedna jednačina u opštem obliku:
[dispmath]3t^3+5t^2+t-1=0\\
\vdots[/dispmath]
Ali s obzirom na to da rešavanje takve jednačine i nije tako jednostavno, mnogo je bolje zaobići tako nešto i primeniti formule za dvostruki ugao i rešiti se tangensa!
Hvala još jednom na brzom odgovoru!