MATEMANIJA

[dispmath]\sin^2 2x+\sin^2 5x=1[/dispmath]

Na ove kvadrate primeniš forumulu za polovinu ugla:[dispmath]\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos 2x}{2}[/dispmath]Posle sređivanja i kraćenja, dobićeš kao međurezultat[dispmath]\cos 4x+\cos 10x=0[/dispmath]i zatim na to primeniš transformaciju trigonometrijskog zbira u proizvod, prema formuli[dispmath]\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}[/dispmath]Dobićeš da je proizvod dva kosinusa jednak nuli, što znači da je neki od ta dva kosinusa sigurno jednak nuli. Slučaj da je prvi od ta dva kosinusa jednak nuli daće rešenja[dispmath]x=\frac{\pi}{14}+\frac{k\pi}{7},\quad k\in\mathbb{N}[/dispmath]a slučaj da je drugi od ta dva kosinusa jednak nuli daće rešenja[dispmath]x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},\quad k\in\mathbb{N}[/dispmath]Konačan skup rešenja ove jednačine dobijamo kao uniju ova dva skupa rešenja:[dispmath]x\in\left\{\frac{\pi}{14}+\frac{k\pi}{7}\right\}\cup\left\{\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right\},\quad k\in\mathbb{N}[/dispmath]

1. [inlmath]\cos x=\cos 3x[/inlmath]
2. Jednacina [inlmath]x=4\pi\sin x[/inlmath] ima koliko resenja?

smAshh je napisao:1. [inlmath]\cos x=\cos 3x[/inlmath]

Prebaci [inlmath]\cos x[/inlmath] na desnu stranu i dobićeš razliku kosinusa, transformiši je u proizvod pomoću one formule za transformaciju,[dispmath]\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}[/dispmath]Pošto ceo taj proizvod mora biti jednak nuli, tražiš kada je bilo koji od njegovih činilaca jednak nuli, pa na kraju nađeš uniju tih rešenja.
Međurezultat bi bio[dispmath]\sin x=0\quad\lor\quad\sin 2x=0[/dispmath]a konačno rešenje[dispmath]x=\frac{k\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}[/dispmath]

smAshh je napisao:2. Jednacina [inlmath]x=4\pi\sin x[/inlmath] ima koliko resenja?

Ovu jednačinu nije moguće rešiti analitičkim putem, ali grafičkim putem možemo odrediti broj mogućih rešenja. Formiramo dve funkcije od [inlmath]x[/inlmath], jednu koja je jednaka levoj strani jednačine, [inlmath]y_1=x[/inlmath], i drugu, koja je jednaka desnoj strani jednačine, [inlmath]y_2=4\pi\sin x[/inlmath]. Vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje će biti zadovoljeno [inlmath]y_1=y_2[/inlmath] predstavljaju rešenja ove jednačine, a na grafiku će to biti presečne tačke ovih dveju funkcija:


Ostaje ti samo da izbrojiš presečne tačke.

Logično je, takođe, da rešenja ima smisla tražiti samo kada je [inlmath]x[/inlmath] unutar intervala [inlmath]\left[-4\pi,4\pi\right][/inlmath], jer van tog opsega, kada je [inlmath]\left|x\right|>4\pi[/inlmath], jednačina sigurno nema rešenja, budući da desna strana jednačine, [inlmath]4\pi\sin x[/inlmath], može po modulu biti isključivo manja ili jednaka od [inlmath]4\pi[/inlmath].

[dispmath]2\sin^4x-2\cos^4x-1=0[/dispmath]
Dobijam da je [inlmath]\cos 2x=-\frac{1}{2}[/inlmath]

i resenja su mi [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}+k\pi[/inlmath]

A u resenjima stoji da je drugo resenje [inlmath]x=-\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath]
Gde sam pogresio?

Nigde nisi pogrešio.

[inlmath]\frac{2\pi}{3}+k\pi[/inlmath] isto je što i [inlmath]-\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath], zar ne?

da, hvala... A ovaj [dispmath]1-\sin 2x=\cos x-\sin x[/dispmath] za [dispmath][0,2\pi][/dispmath] dodjem do dela [dispmath](\sin x-\cos x)^2=\cos x-\sin x[/dispmath]

Iz [dispmath](\sin x-\cos x)^2=\cos x-\sin x[/dispmath]
[dispmath](\sin x-\cos x)+\sin x-\cos x=0[/dispmath]
[inlmath](\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x+1)=0[/inlmath]
Otuda je ili [dispmath]\sin x=\cos x[/dispmath] tj. [dispmath]\mathrm{tg}\:x=1[/dispmath] ili [inlmath]\sin x-\cos x=-1[/inlmath]
Uputstvo za drugu jedanačinu: podeli je sa [inlmath]\sqrt{2}[/inlmath] i seti se formule za sinus razlike...

[dispmath](\sin x-\cos x)+\sin x-\cos x=0[/dispmath]
[inlmath](\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x+1)=0[/inlmath]

Ne razumem ovo?

Kod zagrade treba da stoji kvadrat.

E, kad imaš kvadrat kod zagrade, onda izraz posmatraš kao[dispmath]\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin x-\cos x\right)+1\cdot\left(\sin x-\cos x\right)=0[/dispmath]pa [inlmath]\left(\sin x-\cos x\right)[/inlmath], kao zajednički faktor, izvučeš ispred:[dispmath]\left(\sin x-\cos x\right)\left[\left(\sin x-\cos x\right)+1\right]=0[/dispmath]tj.[dispmath]\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin x-\cos x+1\right)=0[/dispmath]Mislim da postupnije od ovoga ne može...

Moze neko da mi kaze gde je greska? Uporno dobijam 2 resenja, a treba samo [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath] da bude resenje :/

[dispmath]4^{\cos 2x}+4^{\cos^2x}=3[/dispmath]
i have no idea

smAshh je napisao:Moze neko da mi kaze gde je greska? Uporno dobijam 2 resenja, a treba samo [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath] da bude resenje :/

– u drugom redu si [inlmath]\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)[/inlmath] pogrešno napisao kao [inlmath]\sin x[/inlmath], a treba [inlmath]-\sin x[/inlmath];
– takođe u drugom redu si [inlmath]\cos\left(x+\pi\right)[/inlmath] pogrešno napisao kao [inlmath]\cos x[/inlmath], a treba [inlmath]-\cos x[/inlmath];
– u šestom redu ti je greška jer si [inlmath]\left(1-\sin x\right)[/inlmath] napisao kao [inlmath]\left(1+\sin x\right)[/inlmath], tj. promenio si znak ispred sinusa.

pa promenio sam znak jer je [inlmath]-[/inlmath] ispred zagrade... zasto je to greska?

Ne bi bila greška da si se oslobodio zagrade... Ali ti si promenio znak, a zagradu si zadržao.

smAshh je napisao:[dispmath]4^{\cos 2x}+4^{\cos^2x}=3[/dispmath]
i have no idea

[dispmath]4^{\cos 2x}+4^{\cos^2x}=3[/dispmath][dispmath]4^{\cos^2x-\sin^2x}+4^{\cos^2x}=3[/dispmath][dispmath]4^{\cos^2x-1+\cos^2x}+4^{\cos^2x}=3[/dispmath][dispmath]4^{2\cos^2x-1}+4^{\cos^2x}=3[/dispmath][dispmath]\frac{4^{2\cos^2x}}{4}+4^{\cos^2x}=3[/dispmath][dispmath]\frac{\left(4^{\cos^2x}\right)^2}{4}+4^{\cos^2x}=3[/dispmath]Smena [inlmath]4^{\cos^2x}=t[/inlmath][dispmath]\frac{t^2}{4}+t=3\quad /\cdot 4[/dispmath][dispmath]t^2+4t=12[/dispmath][dispmath]t^2+4t-12=0[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath]Negativno rešenje odbaciš, budući da [inlmath]4^{\cos^2x}[/inlmath] može biti samo pozitivan broj...

Rešenje: [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath]

Prvi zadatak treba da ima dva resenja

Jel ovako glasi jednacina? - jedva se vidi - ako ovako glasi:
[dispmath]2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+2\cos(x+\pi)+\sin 2x=2[/dispmath]
onda bi trebalo da ima ova dva resenja
[dispmath]x_1=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/dispmath]
[dispmath]x_2=\pi+2k\pi[/dispmath]

Daniel je napisao:– u drugom redu si [inlmath]\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)[/inlmath] pogrešno napisao kao [inlmath]\sin x[/inlmath], a treba [inlmath]-\sin x[/inlmath];

Mozda je
[dispmath]\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)[/dispmath]

Da, što više gledam fotku zadatka, sve mi je manje jasno šta zapravo piše u prvoj zagradi u prvom redu... da li je to [inlmath]\left(\frac{\pi}{2}+x\right)[/inlmath], ili [inlmath]\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)[/inlmath], ili [inlmath]\left(\frac{5\pi}{2}+x\right)[/inlmath]... Čekamo smAshh-a da nam pojasni...

moja greska... je l moze da se uradi? a ovako glasi: [inlmath]2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+2\cos\left(x+\pi\right)+\sin 2x=2[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]

je li ovde gledam za [inlmath]\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)[/inlmath] znak kosinusa? ili znak sinusa s obzirom da prelazi u sinus? i kako da ga odredim kad ne znam u kom je kvadrantu?

[dispmath]2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+2\cos(x+\pi)+\sin 2x=2[/dispmath]
[dispmath]2\sin x-2\cos x+2\sin x\cos x=2[/dispmath]
pa sve delimo sa dva
[dispmath]\sin x-\cos x+\sin x\cos x=1[/dispmath]
[dispmath]\sin x-\cos x+\sin x\cos x-1=0[/dispmath]
[dispmath]-1+\sin x-\cos x+\sin x\cos x=0[/dispmath]
[dispmath]-1+\sin x-\cos x(1-\sin x)=0[/dispmath]
pa mnozimo sve sa [inlmath]-1[/inlmath]
[dispmath]1-\sin x+\cos x(1-\sin x)=0[/dispmath]
[dispmath](1-\sin x)(1+\cos x)=0[/dispmath]
pa sledi da je
[dispmath]1-\sin x=0[/dispmath]
[dispmath]\sin x=1\qquad\text{tj.}\qquad x_1=\frac{\pi}{2}[/dispmath]
[dispmath]1+\cos x=0[/dispmath]
[dispmath]\cos x=-1\qquad\text{tj.}\qquad x_2=\pi[/dispmath]
E sad ako je resenje, kao sto kazes, [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath], onda se sigurno u zadatku trazi zbir resenja jednacine tj.
[dispmath]x_1+x_2=\frac{\pi}{2}+\pi\qquad\text{tj.}\qquad x_1+x_2=\frac{3\pi}{2}[/dispmath]

Onda moram da se korigujem, ove ispravke sam ti napisao misleći da je u prvoj zagradi [inlmath]\left(\frac{\pi}{2}+x\right)[/inlmath] umesto [inlmath]\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)[/inlmath]:

Daniel je napisao:– u drugom redu si [inlmath]\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)[/inlmath] pogrešno napisao kao [inlmath]\sin x[/inlmath], a treba [inlmath]-\sin x[/inlmath];
– takođe u drugom redu si [inlmath]\cos\left(x+\pi\right)[/inlmath] pogrešno napisao kao [inlmath]\cos x[/inlmath], a treba [inlmath]-\cos x[/inlmath];
– u šestom redu ti je greška jer si [inlmath]\left(1-\sin x\right)[/inlmath] napisao kao [inlmath]\left(1+\sin x\right)[/inlmath], tj. promenio si znak ispred sinusa.

Imao si, zapravo, dve a ne tri greške. Ovu prvu ispravku koju sam ti napisao zanemari, to si dobro uradio.

E sad, nije mi baš najjasnije da li je u zadatku zadato da [inlmath]x\in\left[0,2\pi\right)[/inlmath]? Ako jeste, onda je rešenje koje je forza napisao ono koje se traži. Ako nije zadat taj uslov, onda na svako od rešenja treba dodati još i [inlmath]2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath].

smAshh je napisao:je li ovde gledam za [inlmath]\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)[/inlmath] znak kosinusa? ili znak sinusa s obzirom da prelazi u sinus? i kako da ga odredim kad ne znam u kom je kvadrantu?

Nije potrebno da znaš u kom je kvadrantu. Da bi [inlmath]\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)[/inlmath] izrazio preko oštrog ugla, potrebno je da negde sa strane nacrtaš trigonometrijski krug, na njega uneseš neki oštar ugao i na [inlmath]x[/inlmath]-osi obeležiš njegov kosinus, a na [inlmath]y[/inlmath]-osi njegov sinus. Zatim na istoj kružnici nacrtaš taj ugao uvećan za [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath] i, pošto u ovom slučaju tražiš kosinus tog ugla, na [inlmath]x[/inlmath]-osi obeležiš njegov kosinus. I onda upoređivanjem kosinusa tog ugla sa sinusom i kosinusom onog prvog, oštrog ugla, izvučeš potreban identitet...

Doktorski