MATEMANIJA

Dobro jutro matematičari
Zadatak oko kojeg mi treba pomoć je geometrijske prirode, međutim u njegovom tekstu je naglašeno da se radi trigonometrijski, pa ga zato stavih u ovu temu.
Kao i uvek, ostao sam bez ideje, pa vas zato molim za neke instrukcije. Evo zadatka:
Neka je data tačka [inlmath]D[/inlmath]. Među svim trouglovima kod kojih je [inlmath]DA=1[/inlmath], [inlmath]DB=2[/inlmath], [inlmath]DC=3[/inlmath] i [inlmath]\angle BAC=\frac{\pi}{3}[/inlmath] naći onaj sa najvećom površinom. Zadatak uraditi trigonometrijski.


Evo šta sam ja zaključio:
Najpre znamo da je [inlmath]P=\frac{1}{2}\cdot bc\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{4}\cdot bc[/inlmath] pa je površina najveća onda kada je proizvod [inlmath]bc[/inlmath] najveći, pa onda sam postavio neke relacije da bih našao neki odnos između [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].
Najpre kosinusna teorema za [inlmath]\triangle ADC[/inlmath] i [inlmath]\triangle ABD[/inlmath]:
[inlmath]b^2=10-6\cos\phi[/inlmath] i [inlmath]c^2=5-4\cos\theta[/inlmath] pa sam onda pokušao da primenim nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine, međutim ne može. A onda sam pokušao da iskoristim trigonometrijski odnos između [inlmath]\angle DAB+\angle DAC=\frac{\pi}{3}[/inlmath] preko adicione formule i sa druge strane sam izrazio stranicu [inlmath]a[/inlmath] kao:
[inlmath]a^2=b^2+c^2-bc=13-12\cos(\phi+\theta)[/inlmath] međutim dobije se kilometarski izraz četvrtog stepena iz kojeg ne može ništa da se dobije.
Takođe sam pokušao nekom malo ''lakšom'' trigonometrijom:
Spustio sam normale iz [inlmath]D[/inlmath] na stranice, pa sam probao preko Ptolomejeve teoreme, ne radi ni to.
Pa sam onda uočio da je [inlmath]\frac{1}{2}\cdot(cx+ay+bz)=P[/inlmath] ako normalne duži obeležimo sa [inlmath]x,y,z[/inlmath], neće se ni tako ništa pametno dobiti. U suštini, da ne dužim poruku, pokušavao sam mnogo više od ovoga što sam napisao i nisam imao sreće.
Čim ovoliko načina ''ne radi'' onda znači da pravim neki elementaran propust koji trenutno ne vidim, baš zato vas molim da ukoliko vidite to što ja ne vidim, mi pomognete . Hvalaa vam.

Za sve vas koji ste pogledali ovaj zadatak i videli da je nemoguc, evo okacicu resenje koje sam dobio, posle visecasovnog rada i posle kidanja poslednjeg zivca .Naravno, nista od ovoga ne bi bilo moguce da nije bilo Daniela koji mi je pomogao da odbacim sve ,,netacne,, ideje i koji je prilozio skicu koju vidite!
Doduse, nije prekontrolisao ovo moje resenje jer smo se dogovorili da je najbolje da ga prvo okacim ovde, tako da postoji mogucnost da je pogresno .
Evo resenja (valjda):


Najpre, spustimo normale iz tacke [inlmath]D[/inlmath] na stranice trougla i obelezimo sledece tacke:
Tacku [inlmath]E[/inlmath] kao podnozje normale iz [inlmath]D[/inlmath] na stranicu [inlmath]AB[/inlmath]
Tacku [inlmath]F[/inlmath] kao podnozje normale iz [inlmath]D[/inlmath] na [inlmath]AC[/inlmath] i neka je [inlmath]DE=x,\;DF=y[/inlmath], zatim uocimo cetvorougao [inlmath]AEDF[/inlmath], koji je tetivan jer mu je zbir dva naspramna ugla jednak [inlmath]180^\circ[/inlmath], pa kako je tetivan onda vazi Ptolomejeva teorema, koju cemo primeniti kasnije.
Uocavamo da je [inlmath]P=\frac{\sqrt3}{4}\cdot bc[/inlmath] pa primecujemo da je povrsina trougla najveca onda kada je proizvod [inlmath]bc[/inlmath] najveci. Onda uocimo trouglove [inlmath]\triangle ADE[/inlmath] i [inlmath]\triangle ADF[/inlmath] i primenimo Pitagorinu teoremu:
[inlmath]AE=\sqrt{1-x^2}[/inlmath], [inlmath]AF=\sqrt{1-y^2}[/inlmath], [inlmath]EB=\sqrt{4-x^2}[/inlmath], [inlmath]CF=\sqrt{9-y^2}[/inlmath] i onda primenimo da je [inlmath]c=AE+EB[/inlmath] kao i [inlmath]b=CF+FA\;\Rightarrow\;b=\sqrt{9-y^2}+\sqrt{1-y^2}[/inlmath] i [inlmath]c=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{4-x^2}[/inlmath] i to uvrstimo u izraz za povrsinu i dobijemo kada izmnozimo sve:
[inlmath]P=\frac{\sqrt3}{4}\cdot\left(\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}+\sqrt{\left(1-y^2\right)\left(4-x^2\right)}+\sqrt{\left(9-y^2\right)\left(1-x^2\right)}+\sqrt{\left(9-y^2\left)\right(4-x^2\right)}\right)[/inlmath] i sada, kao sto naslucujete, primenimo nejednakost izmedju aritmeticke i kvadratne sredine za data 4 broja koja glasi ovako:
[inlmath]\frac{p+q+r+s}{4}\le\sqrt{\frac{p^2+q^2+r^2+s^2}{4}}[/inlmath] samo umesto promenljivih koje sam ja naveo kao primer ubacimo ove izraze sa korenom. E a sada cu u izrazu [inlmath]P=\frac{\sqrt3}{4}\cdot\left(\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}+\sqrt{\left(1-y^2\right)\left(4-x^2\right)}+\sqrt{\left(9-y^2\right)\left(1-x^2\right)}+\sqrt{\left(9-y^2\left)\right(4-x^2\right)}\right)[/inlmath] sve umesto korena iz tri obeleziti sa [inlmath]S[/inlmath] radi kraceg zapisa. Evo sta dobijemo
[inlmath]S\le\sqrt{\frac{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)+\left(1-y^2\right)\left(4-x^2\right)+\left(9-y^2\right)\left(1-x^2\right)+\left(9-y^2\right)\left(4-x^2\right)}{4}}[/inlmath] e a sada u izrazu pod korenom primetimo da se to moze prikazati u obliku proizvoda:
Iz prva dva sabirka izvucemo [inlmath]\left(1-y^2\right)[/inlmath] a iz druga dva [inlmath]\left(9-y^2\right)[/inlmath] i primetimo da nam ostane na dva mesta izraz [inlmath]1-x^2+4-x^2=5-2x^2[/inlmath] pa izvucemo i njega i dobijemo [inlmath]S\le\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\left(5-2x^2\right)\left(10-2y^2\right)}[/inlmath] i zbog ovakvog uvodjenja oznaka, jasno je da je
[dispmath]P\le\frac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt{\left(5-2x^2\right)\left(10-2y^2\right)}[/dispmath] Sada je jasno da moramo naci jos neku vezu izmedju [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] a za to ce nam posluziti ovaj ugao koji je dat u zadatku. Najpre primetimo da vredi:
[inlmath]\angle DAB+\angle DAC=60^\circ[/inlmath] pa zatim kosinusujemo obe strane i iskoristimo adicionu formulu:
[inlmath]\cos(\angle DAB+\angle DAC)=cos60^\circ=\frac{1}{2}=\cos\angle DAB\cos\angle DAC-\sin\angle DAB\sin\angle DAC[/inlmath] i jos jednom uocimo gorenavedene pravougle trouglove pa nadjemo vrednosti potrebnih trigonometrijskih funkcija kao kolicnik odredjenih stranica. Odatle dobijemo
[inlmath]\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}-xy=\frac{1}{2}[/inlmath] i ne diramo to za sada, vec potrazimo drugu vezu, sinusnu, isto preko adicionih formula i dobijemo sledecu vezu:
[inlmath]x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] a sada sledi deo zadatka koji cini ovaj zadatak prelepim. Naime, da bih postavio Ptolomejevu teoremu za cetvorougao [inlmath]AEDF[/inlmath] moram da znam duzinu duzi [inlmath]EF[/inlmath] koja mi nije data, ali ako dobro proucim rezultat koji sam dobio iz adicionog sinusa zakljucujem da je [inlmath]EF=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] zato sto kada se postavi Ptolomejeva teorema vidimo da ima identican oblik da data sinusna veza . A sada kada znamo tu duzinu, postavimo kosinusnu teoremu za trougao [inlmath]\triangle FED[/inlmath] (posto znamo da su naspramni uglovi tetivnog cetvorougla suplementni odatle je [inlmath]\angle FDE=120^\circ)[/inlmath] i dobijemo vezu:
[inlmath]x^2+y^2+xy=\frac{3}{4}[/inlmath] i sada od tog broja dva oduzmemo poslednji izraz (da, dobro ste procitali, od broja dva, videcete zasto) i dobijemo [inlmath]2-\frac{3}{4}=2-x^2-y^2-xy=1-x^2+1-y^2-xy[/inlmath] a sada kada pogledamo vezu koju smo dobili iz kosinusa vidimo da je [inlmath]\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}-xy=\frac{1}{2}[/inlmath] pa sada na dva data izraza primenimo nejednakost izmedju aritmeticke i geometrijske sredine i dobijemo konacno vezu [inlmath]xy\le\frac{1}{4}[/inlmath] zatim izmnozimo izraze dobijene u [inlmath]S[/inlmath] i dobijemo:
[inlmath]S\le\frac{1}{2}\cdot\sqrt{50-10y^2-20x^2+4x^2y^2}\le\frac{1}{4}\cdot\Bigl(15-2\left(x^2+y^2\right)\Bigr)[/inlmath] (opet AG) a iz izraza [inlmath]x^2+y^2+xy=\frac{3}{4}[/inlmath] nadjemo da je [inlmath]x^2+y^2\ge\frac{1}{2}[/inlmath] odakle je konacno [inlmath]\sqrt{50-10y^2-20x^2+4x^2y^2}\le7\;\Rightarrow\;S\le\frac{7}{2}\;\Rightarrow\;P\le\frac{7\sqrt3}{2}\;\Rightarrow\;P_\max=\frac{7\sqrt3}{2}[/inlmath]. Ukoliko vam nije najjasnije sta sam radio sa nejednakostima nacrtajte brojevnu pravu da vidite sta je manje ili vece ili jednako sa cim. Naravno, uzmite u obzir da sam zadatak kucao oko 1 izjutra, tako da su moguce i greske u kucanju pa samim tim i u zadatku. Zvanicno resenje ovog zadatka nemam, inace on je izvorno sa jedne od dodatnih nastava u Matematickoj gimnaziji. A kako resenje nemam, pozivam vas sve da utvrdite da li je moje resenje tacno i time obogatite ovu temu. Priznacete svi da je zadatak zanimljiv. @Daniel, hvala jos jednom.