MATEMANIJA

[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}[/dispmath]

A da samo izračunaš na kalkulatoru?
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}[/dispmath]
[dispmath]0.3092+(-0.80902)=-0.5[/dispmath]
Ja drugačije ne znam, ali može se sigurno - nekim trigonometrijskim putem

Vrlo zanimljiv zadatak!
Trenutno nemam neku drugu ideju od ove koju ću sad izložiti, a ako se budem setio još nekog načina, dopisaću.

Posmatramo [inlmath]\sin\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\sin\frac{3\pi}{5}[/inlmath].
Primetimo da su oni jednaki, jer je [inlmath]\sin\frac{3\pi}{5}=\sin\left(\pi-\frac{2\pi}{5}\right)=\sin\frac{2\pi}{5}[/inlmath].
Jedan od njih posmatramo kao sinus dvostrukog ugla, a drugi kao sinus trostrukog ugla.
Formulu sinusa dvostrukog ugla znamo, to je
[dispmath]\sin2x=2\sin x\cos x[/dispmath] Formulu sinusa trostrukog ugla možemo da izvedemo:
[dispmath]\sin3x=\sin\left(2x+x\right)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x=2\sin x\cos^2x+\sin x\cos^2x-\sin^3x=3\sin x\cos^2x-\sin^3x[/dispmath] Sada računamo [inlmath]\sin\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\sin\frac{3\pi}{5}[/inlmath]:
[dispmath]\sin\frac{2\pi}{5}=2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}[/dispmath][dispmath]\sin\frac{3\pi}{5}=3\sin\frac{\pi}{5}\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^3\frac{\pi}{5}[/dispmath] Zatim izjednačimo [inlmath]\sin\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\sin\frac{3\pi}{5}[/inlmath]:
[dispmath]\sin\frac{3\pi}{5}=\sin\frac{2\pi}{5}[/dispmath][dispmath]2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}=3\sin\frac{\pi}{5}\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^3\frac{\pi}{5}[/dispmath] Skratimo [inlmath]\sin\frac{\pi}{5}[/inlmath]:
[dispmath]2\cos\frac{\pi}{5}=3\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^2\frac{\pi}{5}[/dispmath][dispmath]2\cos\frac{\pi}{5}=3\cos^2\frac{\pi}{5}-\left(1-\cos^2\frac{\pi}{5}\right)[/dispmath][dispmath]2\cos\frac{\pi}{5}=4\cos^2\frac{\pi}{5}-1[/dispmath][dispmath]4\cos^2\frac{\pi}{5}-2\cos\frac{\pi}{5}-1=0[/dispmath][dispmath]\left(\cos\frac{\pi}{5}\right)_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4+16}}{8}[/dispmath][dispmath]\left(\cos\frac{\pi}{5}\right)_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt5}{4}[/dispmath] Pošto [inlmath]\frac{\pi}{5}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], kosinus tog ugla mora biti pozitivan, pa negativno rešenje odbacujemo:
[dispmath]\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt5}{4}[/dispmath] Sada računamo [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] kao kosinus dvostrukog ugla:
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}=\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^2\frac{\pi}{5}=\cos^2\frac{\pi}{5}-\left(1-\cos^2\frac{\pi}{5}\right)=[/dispmath][dispmath]=2\cos^2\frac{\pi}{5}-1=2\left(\frac{1+\sqrt5}{4}\right)^2-1=2\frac{1+2\sqrt5+5}{16}-1=\frac{3+\sqrt5}{4}-1=\frac{\sqrt5-1}{4}[/dispmath] Treba da nađemo još i [inlmath]\cos\frac{4\pi}{5}[/inlmath]. Ovo možemo naći tako što ga posmatramo kao dvostruki ugao od [inlmath]\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i primenimo formulu za kosinus dvostrukog ugla, ali je jednostavnije da primetimo da je
[dispmath]\cos\frac{4\pi}{5}=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)=-\cos\frac{\pi}{5}[/dispmath] Prema tome,
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=\cos\frac{2\pi}{5}-\cos\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}-\frac{1+\sqrt5}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}[/dispmath]

Nista mi jasno nije :S

Ja bih ti zaista vrlo rado pomogao i razjasnio sve što treba, ali onda mi moraš postaviti i konkretno pitanje.

1. Ako je
[dispmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{(1+\mathrm{tg}\:1)(1+\mathrm{tg}\:2)-2}{(1-\mathrm{tg}\:1)(1-\mathrm{tg}\:2)-2}[/dispmath]
[dispmath]\alpha\in(0,90)[/dispmath]
2. [dispmath]4\cos 2000-\frac{1}{\sin 1990}=[/dispmath]

smAshh je napisao:1. Ako je
[dispmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{(1+\mathrm{tg}\:1)(1+\mathrm{tg}\:2)-2}{(1-\mathrm{tg}\:1)(1-\mathrm{tg}\:2)-2}[/dispmath]
[dispmath]\alpha\in(0,90)[/dispmath]

Imali smo već takav. Evo, ovde.

smAshh je napisao:2. [dispmath]4\cos 2000-\frac{1}{\sin 1990}=[/dispmath]

[dispmath]4\cos 2000^\circ-\frac{1}{\sin 1990^\circ}=4\cos\left(2000^\circ-6\cdot 360^\circ\right)-\frac{1}{\sin\left(1990^\circ-6\cdot 360^\circ\right)}=[/dispmath][dispmath]=4\cos\left(-160^\circ\right)-\frac{1}{\sin\left(-170^\circ\right)}=4\cos 160^\circ+\frac{1}{\sin 170^\circ}=[/dispmath][dispmath]=-4\cos\left(180^\circ-160^\circ\right)+\frac{1}{\sin\left(180^\circ-170^\circ\right)}=-4\cos 20^\circ+\frac{1}{\sin 10^\circ}=[/dispmath][dispmath]=\frac{-4\sin 10^\circ\cos 20^\circ+1}{\sin 10^\circ}=\frac{-4\cdot\frac{1}{2}\left[\sin\left(10^\circ+20^\circ\right)+\sin\left(10^\circ-20^\circ\right)\right]+1}{\sin 10^\circ}=[/dispmath][dispmath]=\frac{-2\left(\sin 30^\circ-\sin 10^\circ\right)+1}{\sin 10^\circ}=\frac{-2\cdot\frac{1}{2}+2\sin 10^\circ+1}{\sin 10^\circ}=\frac{2\sin 10^\circ}{\sin 10^\circ}=2[/dispmath]

Vrednost izraza
[dispmath]\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{3\pi}{8}-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{8}\right)[/dispmath]
je:

[dispmath]\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{3\pi}{8}-\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{8}\right)[/dispmath]
[dispmath]\frac{\cos\frac{3\pi}{8}}{\cos\frac{\pi}{8}}-\frac{\sqrt 2\cos\frac{\pi}{8}}{\cos\frac{\pi}{8}}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)}{\cos\frac{\pi}{8}}-\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sin\frac{\pi}{8}}{\cos\frac{\pi}{8}}-\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{8}-\sqrt 2[/dispmath]
Sada primenjujemo sledece pravilo:
[dispmath]\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}[/dispmath]
Pa se vracamo zadatku gde je:
[dispmath]\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{8}[/dispmath]
[dispmath]\alpha=\frac{\pi}{4}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sin 45^\circ}{1+\cos 45^\circ}-\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\frac{\sqrt 2}{2}}{1+\frac{\sqrt 2}{2}}-\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sqrt 2}{2+\sqrt 2}-\sqrt 2[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sqrt 2-2\sqrt 2-2}{2+\sqrt 2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{-2-\sqrt 2}{2+\sqrt 2}[/dispmath]
Pa racionalizujemo:
[dispmath]\frac{-2-\sqrt 2}{2+\sqrt 2}\cdot\frac{2-\sqrt 2}{2-\sqrt 2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{-4+2\sqrt 2-2\sqrt 2+2}{4-2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{-2}{2}[/dispmath]
[dispmath]-1[/dispmath]

forzajuve je napisao:[dispmath]\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}[/dispmath]

Ovde je samo potrebno naglasiti, pošto formula u opštem slučaju glasi [inlmath]\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}[/inlmath], da smo u ovom slučaju ispred korena uzeli znak [inlmath]+[/inlmath] zato što [inlmath]\frac{\pi}{8}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], tj. ugao je oštar, pa zato njegov tangens mora biti pozitivan.

forzajuve je napisao:[dispmath]\frac{-2-\sqrt 2}{2+\sqrt 2}[/dispmath]

Ovo bi moglo i bez racionalizacije:[dispmath]\frac{-2-\sqrt2}{2+\sqrt2}=\frac{-\left(\cancel{2+\sqrt2}\right)}{\cancel{2+\sqrt2}}=-1[/dispmath]

A evo i još jednog načina za rešavanje:[dispmath]\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{3\pi}{8}-\sqrt 2\cos\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{8}\right)-\sqrt 2\cos\frac{\pi}{8}\right]=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{8}-\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{8}-\sqrt 2\cos\frac{\pi}{8}\right)=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\frac{\sqrt 2}{2}\cos\frac{\pi}{8}-\frac{\sqrt 2}{2}\sin\frac{\pi}{8}-\sqrt 2\cos\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(-\frac{\sqrt 2}{2}\cos\frac{\pi}{8}-\frac{\sqrt 2}{2}\sin\frac{\pi}{8}\right)=[/dispmath][dispmath]=-\frac{\sqrt 2}{2}\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\cos\frac{\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt 2}{2}\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{8}\right)+\sin\frac{\pi}{8}\right]=[/dispmath][dispmath]=-\frac{\sqrt 2}{2}\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\left(\sin\frac{3\pi}{8}+\sin\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt 2}{\cancel 2}\frac{1}{\cos\frac{\pi}{8}}\cdot \cancel 2\sin\frac{\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi}{8}}{2}\cos\frac{\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{8}}{2}=[/dispmath][dispmath]=-\frac{\sqrt 2}{\cancel{\cos\frac{\pi}{8}}}\sin\frac{\pi}{4}\cancel{\cos\frac{\pi}{8}}=-\sqrt 2\sin\frac{\pi}{4}=-\sqrt 2\cdot\frac{\sqrt 2}{2}=-1[/dispmath]

smAshh je napisao:[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}[/dispmath]

Napisacu ovde i drugo resenje za ovaj zadatak, mozda ce nekom biti jednostavnije za shvatanje od gore navedenog Danielovog.
(Izvor: Zbirka resenih testova iz matematike, Dobrilo Dj. Tosic, Nina D. Stankovic)

---

Resenje se zasniva na koriscenju sume geometrijske progresije i Moavrove formule. Polazeci od geometrijske progresije [inlmath]1+x+x^2+x^3+x^4[/inlmath] mogu se izracunati [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\cos\frac{4\pi}{5}[/inlmath]. Suma geometrijske progresije je:
[dispmath]1+x+x^2+x^3+x^4=\frac{x^5-1}{x-1}\qquad(1)[/dispmath]
Ako stavimo [inlmath]z=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5},\enspace(i=\sqrt{-1})[/inlmath], tada je na osnovu Moavrove formule:
[dispmath]z^5=\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)^5=\cos{2\pi}+i\sin{2\pi}=1[/dispmath]
Polazeci od jednakosti [inlmath](1)[/inlmath], imamo [inlmath]1+z+z^2+z^3+z^4=0[/inlmath] (jer je [inlmath]z^5=1[/inlmath]), Ako ovu jednacinu podelimo sa [inlmath]z^2[/inlmath], dobijamo
[dispmath]z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1=0[/dispmath]
Smenom [inlmath]z+\frac{1}{z}=t[/inlmath], za koju je [inlmath]z^2+\frac{1}{z^2}=t^2-2[/inlmath], poslednja jednacina se svodi na
[dispmath]t^2+t-1=0[/dispmath]
Ova jednacina ima dva resenja [inlmath]t_1=\frac{-1+\sqrt5}{2},\enspace t_2=\frac{-1-\sqrt5}{2}[/inlmath].

Posto smo uzeli da je [inlmath]z=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5},\enspace(i=\sqrt{-1})[/inlmath], primetimo da je:
[dispmath]\frac{1}{z}=\frac{1}{\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}}=\cos\frac{2\pi}{5}-i\sin\frac{2\pi}{5}[/dispmath]
jer je [inlmath]\left(\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\right)\left(\cos\frac{2\pi}{5}-i\sin\frac{2\pi}{5}\right)=1[/inlmath].

Na osnovu toga je:
[dispmath]z+\frac{1}{z}=2\cos\frac{2\pi}{5}[/dispmath]
Posto je [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}=\cos72^\circ>0[/inlmath], zakljucujemo da je:
[dispmath]z+\frac{1}{z}=2\cos\frac{2\pi}{5}=t_1=\frac{-1+\sqrt5}{2}[/dispmath]
Prema tome, [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{-1+\sqrt5}{4}[/inlmath].

Primenom formule [inlmath]\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1[/inlmath] za [inlmath]\alpha=\frac{2\pi}{5}[/inlmath] imamo:
[dispmath]\cos\frac{4\pi}{5}=2\cos^2\left(\frac{2\pi}{5}\right)-1=2\cdot\left(\frac{-1+\sqrt5}{4}\right)^2-1=\frac{-1-\sqrt5}{4}[/dispmath]
Dakle:
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=\frac{-1+\sqrt5}{4}+\frac{-1-\sqrt5}{4}=-\frac{1}{2}[/dispmath]

---

Mozda je malo poduze, ali ce koristiti.

Ilija je napisao:Resenje se zasniva na koriscenju sume geometrijske progresije i Moavrove formule. Polazeci od geometrijske progresije [inlmath]1+x+x^2+x^3+x^4[/inlmath] mogu se izracunati [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]\cos\frac{4\pi}{5}[/inlmath].

Napomenuo bih samo da je u tekstu zadataka (u zbirci iz koje sam i naveo resenje), predlozeno da se resenje zasniva na koriscenju navedene geometrijske progresije (naravno, nije uslovljeno koriscenje iste, pa se zadatak moze resiti i Danielovim nacinom).

Veliko hvala za ovo rešenje, vrlo je zanimljivo, nisam siguran da bi mi ovaj način ikad pao na pamet.

Jedino, moram da naglasim da se imaginarna jedinica nikako ne definiše kao [inlmath]i=\sqrt{-1}[/inlmath] kako je ovde napisano na dva mesta, već kao [inlmath]i^2=-1[/inlmath].

Takodje dodao bih jos jedan nacin, koji sam koristio u slicnom zadatku.
Rec je o aproksimaciji funkcija [inlmath]f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\cdot\Delta x[/inlmath]
Konkretno u ovom zadatku pocetni izraz cemo malo srediti [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=\cos\frac{2\pi}{5}+2\cos^2\frac{2\pi}{5}-1[/inlmath]
Prvo izdvajamo [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}=2\cos^2\frac{\pi}{5}-1[/inlmath]
Da bismo izracunali [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] moramo prvo izracunati [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\cos\frac{\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{30}\right)\approx\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{6}\cdot\frac{\pi}{30}\\
\cos\frac{\pi}{5}\approx\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{60}\\
\cos\frac{\pi}{5}\approx0.81\\
\Rightarrow\quad\cos\frac{2\pi}{5}\approx2\left(0.81\right)^2 -1\\
\cos\frac{2\pi}{5}\approx0.31[/dispmath]
Nakon ovoga vrednost [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}[/inlmath] uvodimo u [inlmath]\cos\frac{2\pi}{5}+2\cos^2\frac{2\pi}{5}-1[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}\approx0.31+2\left(0.31\right)^2-1\\
\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}\approx0.31+0.19-1\\
\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}\approx-0.5\\
\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}\approx-\frac {1}{2}[/dispmath]
Kod aproksimacije funkcija [inlmath]\Delta x[/inlmath] treba da bude jako mali broj ali u ovom slucaju iako [inlmath]\Delta x[/inlmath] nije bilo bas mali broj greska u vrednosti [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath] je priblizno [inlmath]0.004[/inlmath]

Razmišljanje ti je super, naravno, treba naglasiti da je ovo, uopšte gledano, približno rešenje (iako se u ovom konkretnom slučaju zaista na kraju dobije tačna vrednost).

I, zar ne bi bilo jednostavnije (i, u opštem slučaju preciznije), ovako:
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=\cos\frac{2\pi}{5}-\cos\frac{\pi}{5}=2\cos^2\frac{\pi}{5}-1-\cos\frac{\pi}{5}=\cos\frac{\pi}{5}\left(2\cos\frac{\pi}{5}-1\right)-1[/dispmath]
Vrednost [inlmath]\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath] si već približno odredio, tako da je to dalje:
[dispmath]\cos\frac{\pi}{5}\left(2\cos\frac{\pi}{5}-1\right)-1\approx0,81\left(2\cdot0,81-1\right)-1\approx-0,5[/dispmath]

Hvala
Slazem se da je tako jednostavnije pretvoriti [inlmath]\cos\frac{4\pi}{5}[/inlmath] preko [inlmath]\cos\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)=-\cos\frac{\pi}{5}[/inlmath]

smAshh je napisao:[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}[/dispmath]

Ovaj problem možemo rešiti i na sledeći način:
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=2\cos\frac{3\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}=2\cos108^\circ\cos36^\circ=[/dispmath][dispmath]=2\cos(90^\circ+18^\circ)\cos2\cdot18^\circ=-2\sin18^\circ\left(\cos^218^\circ-\sin^218^\circ\right)=[/dispmath][dispmath]=-2\sin18^\circ\left(1-2\sin^218^\circ\right)[/dispmath] Sada ostaje još samo da izračunamo [inlmath]\sin18^\circ[/inlmath] koji možemo izračunati služeći se jednakošću
[dispmath]\sin36^\circ=\cos54^\circ[/dispmath] To jest
[dispmath]\sin2\cdot18^\circ=\cos3\cdot18^\circ[/dispmath][dispmath]\sin2\cdot18^\circ=\cos(2\cdot18^\circ+18^\circ)[/dispmath][dispmath]2\sin18^\circ\cos18^\circ=\cos2\cdot18^\circ\cos18^\circ-\sin2\cdot18^\circ\sin18^\circ[/dispmath][dispmath]2\sin18^\circ\cos18^\circ=\left(\cos^218^\circ-\sin^218^\circ\right)\cos18^\circ-2\sin^218^\circ\cos18^\circ\hspace{5mm}\large/\cos18^\circ[/dispmath][dispmath]2\sin18^\circ=1-4\sin^218^\circ[/dispmath][dispmath]4\sin^218^\circ+2\sin18^\circ-1=0[/dispmath][dispmath]\sin18^\circ_{1/2}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{8}=\frac{-2\pm2\sqrt5}{8}[/dispmath] Posto se je [inlmath]\angle\sin18^\circ[/inlmath] ostar sledi
[dispmath]\large\enclose{box}{\sin18^\circ=\frac{-1+\sqrt5}{4}}[/dispmath] Sada ovu vrednost ubacujemo u izraz
[dispmath]-2\sin18^\circ\left(1-2\sin^218^\circ\right)[/dispmath][dispmath]=-\cancel2\frac{-1+\sqrt5}{\cancelto{2}{4}}\left(1-2\left(\frac{-1+\sqrt5}{4}\right)^2\right)[/dispmath][dispmath]=\frac{1-\sqrt5}{2}\left(1-2\frac{1-2\sqrt5+5}{16}\right)[/dispmath][dispmath]\frac{1-\sqrt5}{2}\left(1-\cancel2\frac{\cancel2\left(3-\sqrt5\right)}{\cancelto{4}{16}}\right)[/dispmath][dispmath]=\frac{1-\sqrt5}{2}\cdot\frac{4-3+\sqrt5}{4}[/dispmath][dispmath]=\frac{\left(1-\sqrt5\right)\left(1+\sqrt5\right)}{8}[/dispmath][dispmath]=\frac{1^2-\sqrt5^2}{8}=\frac{1-5}{8}=-\frac{\cancel4}{\cancel8}=-\frac{1}{2}[/dispmath] Dakle
[dispmath]\enclose{box}{\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=2\sin18^\circ\left(1-2\sin^218^\circ\right)=-\frac{1}{2}}[/dispmath]

Daniel je napisao:[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}=\cos^2\frac{2\pi}{5}-\sin^2\frac{2\pi}{5}=\cos^2\frac{2\pi}{5}-\left(1-\cos^2\frac{2\pi}{5}\right)=[/dispmath]

Da li možda treba da stoji
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}=\cos^2\frac{\pi}{5}-\sin^2\frac{\pi}{5}=\cos^2\frac{\pi}{5}-\left(1-\cos^2\frac{\pi}{5}\right)=[/dispmath]

Ne možda, već sigurno. Hvala na primedbi, ispravio sam.

smAshh je napisao:[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}[/dispmath]

Pade mi na pamet još jedan način na koji možemo rešiti citirani zadatak.
[dispmath]\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=\cos\left(\pi-\frac{3\pi}{5}\right)+\cos\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)=-\left(\cos\frac{3\pi}{5}+\cos\frac{\pi}{5}\right)=\\
=\frac{-2\sin\frac{\pi}{5}\left(\cos\frac{3\pi}{5}+\cos\frac{\pi}{5}\right)}{2\sin\frac{\pi}{5}}=\frac{-\left(2\sin\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{3\pi}{5}+2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5}\right)}{2\sin\frac{\pi}{5}}=\\
=\frac{-\left(\sin\frac{4\pi}{5}-\cancel{\sin\frac{2\pi}{5}}+\cancel{\sin\frac{2\pi}{5}}\right)}{2\sin\frac{\pi}{5}}=\frac{-\sin\frac{4\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}}=-\frac{\cancel{\cos\frac{3\pi}{10}}}{2\cancel{\cos\frac{3\pi}{10}}}=\enclose{box}{-\frac{1}{2}}[/dispmath] Čak četvrti način, al' neće da škodi.
Mislim da se logika po kojoj sam išao može naslutiti, tako da nema potrebe da dodatno pojašnjavam.

Svaka čast!

Jedino se poslednji korak može još malo uprostiti,

Frank je napisao:[dispmath]\cdots=\frac{-\sin\frac{4\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}}=-\frac{\cancel{\cos\frac{3\pi}{10}}}{2\cancel{\cos\frac{3\pi}{10}}}=\enclose{box}{-\frac{1}{2}}[/dispmath]

nema potrebe za pretvaranjem u kosinus, nego
[dispmath]\cdots=\frac{-\sin\frac{4\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}}=\frac{-\sin\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)}{2\sin\frac{\pi}{5}}=\frac{-\sin\frac{\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}}=-\frac{1}{2}[/dispmath]