MATEMANIJA

Lep pozdrav svima
Nadam se da već ne postoji ovakva/slična tema jer je ja nisam uspela naći.

Zanima me da li mi neko može pomoći ili uputiti na neku zbirku koja ima zadatke sa primenom sinusne i kosinusne teoreme, ili ponuditi konkretan primer. Ono što sam ja uspela pronaći jeste samo primena na trougao, ali meni treba primena za "svakodnevni život" (npr. Sa obale reke posmatrač visine [inlmath]180\text{ cm}[/inlmath], vidi vrh jednog drveta nasuprotnoj obali pod uglom od [inlmath]32^\circ[/inlmath], a ako se udalji od obale za [inlmath]24\text{ m}[/inlmath], vidi vrh istog drveta pod uglom od [inlmath]22^\circ[/inlmath]. Odrediti visinu drveta i širinu reke na ovom mestu)
Radi se o projektu, odnosno sami pravimo zadatak (ne sme biti identičan kao u zbirci) , rešavamo ga i objašnjavamo, treba biti kreativno ali i tačno.

Da bi se odredila širina rijeke, uoče se na jednoj obali, neposrijedno uz rijeku, objekti [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], na drugoj obali objekat [inlmath]C[/inlmath] i izmjere se rastojanje [inlmath]d=|AB|[/inlmath] i uglovi [inlmath]\angle BAC=\alpha[/inlmath] i [inlmath]\angle ABC=\beta[/inlmath]. Odredimo širinu rijeke naspram objekta [inlmath]C[/inlmath] ako je mjerenjem dobijeno: [inlmath]d\approx400\text{ m}[/inlmath], [inlmath]\alpha\approx45^\circ[/inlmath] i [inlmath]\beta\approx30^\circ[/inlmath].

Širini rijeke kod [inlmath]C[/inlmath] odgovara duž [inlmath]CC_1[/inlmath], gdje je [inlmath]C_1[/inlmath] podnožje normale iz tačke [inlmath]C[/inlmath] na [inlmath]AB[/inlmath] trougla [inlmath]ABC[/inlmath].

Iz pravouglog trougla [inlmath]ACC_1[/inlmath] dobijamo:
[inlmath]|CC_1|=|AC|\cdot\sin\alpha[/inlmath], a iz trougla [inlmath]ABC[/inlmath], primjenom sinusne teoreme imamo:
[inlmath]\displaystyle|AC|=\frac{d\sin\beta}{\sin\gamma}[/inlmath], gdje je [inlmath]\gamma=\angle ACB=180^\circ-(\alpha+\beta)[/inlmath]

[inlmath]\displaystyle|CC_1|=\frac{d\sin\beta\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}[/inlmath]

Uvrštavanjem dobijamo:
[inlmath]|CC_1|=146,4\text{ m}[/inlmath]
Dakle, širina rijeke naspram [inlmath]C[/inlmath] je [inlmath]146,4\text{ m}[/inlmath].

Pokušaj tražiti primjene trigonometrije na netu

hvala puuuuno na resenju I objasnjenju! )

Opet vas moram zamoliti za pomoc
Dakle, ono sto sam ja uradila sto se tice ove zadace jeste da sam nasla trougao koji sacinjavaju zapravo tri ulice na google mapama, screenshotala to I zadatak postavila tako da imam sva tri ugla I dve stranice, a da izracunam trecu stranicu I povrsinu. Prof je rekla da je dosta jednostavno I da bi trebalo imati malo vise smisla, cega sam ja I sama svesna ali mi matematika stvarno nije jaca strana.
Zato vas sada mooooolim da mi pomognete, date zadatak, ideju ili bilo sta ali tako da ja to negdje mogu slikati ili da vec ima slika. Iz tog razloga ne moze ovaj zadatak sa rijekom jer bih ja morala npr licno meriti duzinu ulice itd. Rok je do cetvrtka I bas mi je frka
Unapred hvala I lep pozdrav

Ovakvi zadaci?

[inlmath]1.[/inlmath] Krivi toranj u Pizi
Da stoji pravo, toranj bi bio visok približno [inlmath]58,36\text{ m}[/inlmath]. Vrh tornja odstupa od centra za [inlmath]5,45\text{ m}[/inlmath]. Odrediti ugao za koji toranj odstupa od normale.
[dispmath]\sin x=\frac{5,45}{58,36}=0,093^\circ[/dispmath][dispmath]\Longrightarrow\;x=\arcsin0,093^\circ\approx5^\circ21'[/dispmath]
Ako je poznato da bi toranj bio visok približno [inlmath]58,36\text{ m}[/inlmath], kada bi stajao pravo, i da je nagnut pod uglom od [inlmath]5^\circ21'[/inlmath], odrediti njegovu visinu.
[dispmath]H=58,36\cdot\sin84^\circ39'\approx58,11[/dispmath]

---

[inlmath]2.[/inlmath] Panoramska vrteška
Prva panoramska vrteška je izgrađena [inlmath]1893.[/inlmath] godine u Čikagu. Imala je prečnik [inlmath]76,2\text{ m}[/inlmath], a najviša tačka se nalazila [inlmath]80,47\text{ m}[/inlmath] iznad tla. Odrediti na kojoj visini se nalazio putnik koji bi se iz početne pozicije pomjerio za osminu punog kruga.

Poluprečnik vrteške je bio [inlmath]38,1\text{ m}[/inlmath], a početni položaj se nalazio [inlmath]80,47-76,2=4,27\text{ m}[/inlmath] iznad tla.
Označimo traženu visinu sa [inlmath]h[/inlmath]. Rastojanje od centra vrteške do tla je [inlmath]38,1+4,27=42,37\text{ m}[/inlmath]. Neka je [inlmath]x=42,37-h[/inlmath]. Biće
[dispmath]\cos45^\circ=\frac{x}{r}=\frac{42,37-h}{38,1}[/dispmath]
Odatle imamo da je [inlmath]h=15,43\text{ m}[/inlmath].

---

[inlmath]3.[/inlmath] Piramida u Luvru
Ako je poznato da je visina piramide koja se nalazi ispred Luvra [inlmath]21\text{ m}[/inlmath], a ugao koji bočna ivica gradi sa ravni osnove iznosi [inlmath]50^\circ[/inlmath], odrediti njenu dužinu.
[dispmath]x=\frac{21}{\sin50^\circ}\approx27,41[/dispmath]

---

[inlmath]4.[/inlmath] Rastojanje
Grčki astronom Aristarh sa Samosa je u [inlmath]III[/inlmath] vijeku p.n.e. koristio sljedeće rezonovanje da odredi rastojanja između Zemlje, Mjeseca i Sunca. Neka tijela određuju trougao [inlmath]ZMS[/inlmath]. Kada je Mjesec u poslednjoj četvrti (položaj u kome ga, u odnosu na Sunce, vidimo pod pravim uglom), trougao je pravougli kod tjemena [inlmath]M[/inlmath].

Ukoliko je poznata veličina ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] koji određuju stranice [inlmath]ZM[/inlmath] i [inlmath]ZS[/inlmath], na osnovu jednakosti
[dispmath]\cos\alpha=\frac{ZM}{ZS}[/dispmath]
može se doći do odnosa ta dva rastojanja. Ugao
[dispmath]\alpha\approx89^\circ52'[/dispmath]
pa je rastojanje od Zemlje do Sunca otprilike [inlmath]382[/inlmath] puta veće od rastojanja od Zemlje do Mjeseca. Aristarh je imao dobar metod, ali loše mjerenje, izmjerio je da je [inlmath]\alpha=87^\circ[/inlmath], dobio je da je rastojanje samo [inlmath]19[/inlmath] puta veće.

Sunce je udaljeno od Zemlje približno [inlmath]149\:600\:000\text{ km}[/inlmath], i ima prečnik od [inlmath]1\:392\:684\text{ km}[/inlmath], a Mjesec je udaljen od Zemlje oko [inlmath]384\:600\text{ km}[/inlmath] i ima prečnik od [inlmath]3474\text{ km}[/inlmath]. Koristeći date informacije, odrediti koje od dva tijela se posmatraču sa Zemlje čini većim. (Odrediti ugao pod kojim ih posmatrač vidi).
[dispmath]\alpha=\text{arctg }\frac{696342}{150000000}\approx16^\circ[/dispmath][dispmath]\beta=\text{arctg }\frac{1737}{384600}\approx15^\circ31'[/dispmath]

Hm, pa ne znam bas.. ista stvar kao I sa rekom, nisam ja tu da to uslikam, merim I slicne gluposti... neki su trazili trouglove po kuci merili tako neke udaljenosti, kutove I sl, mada mi je to jednako besmisleno kao I moj zadatak.
Ali svidja mi se ovaj sa Pizom, ako uspem naci doslednu sliku a ne setim se niceg drugog, mozda I posluzi.
Hvala ti u svakom slucaju, divna si zaista

Neke male korekcije...

mala_mu je napisao:[dispmath]\sin x=\frac{5,45}{58,36}=0,093^{\color{red}\circ}[/dispmath][dispmath]\Longrightarrow\;x=\arcsin0,093^{\color{red}\circ}\approx5^\circ21'[/dispmath]

Ovde gde sam obeležio crveno ne treba da stoji oznaka za stepen. Odnos dve dužine ne izražava se u stepenima.

mala_mu je napisao:Ako je poznato da bi toranj bio visok približno [inlmath]58,36\text{ m}[/inlmath], kada bi stajao pravo, i da je nagnut pod uglom od [inlmath]5^\circ21'[/inlmath], odrediti njegovu visinu.
[dispmath]H=58,36\cdot\sin84^\circ39'\approx58,11[/dispmath]

OK, to smo mogli i preko kosinusa, pri čemu bismo koristili direktno ugao koji je dat, a ne njegov komplementni ugao. To jest,
[dispmath]H=58,36\cdot\cos5^\circ21' \approx58,11[/dispmath]

mala_mu je napisao:Sunce je udaljeno od Zemlje približno [inlmath]149\:600\:000\text{ km}[/inlmath], i ima prečnik od [inlmath]1\:392\:684\text{ km}[/inlmath], a Mjesec je udaljen od Zemlje oko [inlmath]384\:600\text{ km}[/inlmath] i ima prečnik od [inlmath]3474\text{ km}[/inlmath]. Koristeći date informacije, odrediti koje od dva tijela se posmatraču sa Zemlje čini većim. (Odrediti ugao pod kojim ih posmatrač vidi).
[dispmath]\alpha=\text{arctg }\frac{696342}{150000000}\approx16^\circ[/dispmath][dispmath]\beta=\text{arctg }\frac{1737}{384600}\approx15^\circ31'[/dispmath]

Zapravo, ne [inlmath]16^\circ[/inlmath] i [inlmath]15^\circ31'[/inlmath], već [inlmath]16'[/inlmath] i [inlmath]15'31''[/inlmath]. [inlmath]16[/inlmath] stepeni bi bilo malo previše.
Inače, [inlmath]16'[/inlmath] i [inlmath]15'31''[/inlmath] bi bili uglovi pod kojima se vide poluprečnici, dok se prečnici vide pod uglom od približno pola stepena.

Prosto ne mogu sad da odolim da se malo ne nadovežem na ovaj zanimljiv primer. Iako je dobijeno da su prividni Sunčev disk i prividni Mesečev disk približno istih veličina, dešava se da je nekad Sunčev prividni disk veći od Mesečevog, a nekad obrnuto. To je posledica toga što se Zemlja ne kreće oko Sunca po krugu već po elipsi, a isto važi i za kretanje Meseca oko Zemlje, pa zbog toga ova rastojanja nisu sasvim konstantna, a samim tim nisu konstantne ni veličine prividnih diskova Sunca i Meseca.
Zbog toga se dešava da nekad imamo potpuno pomračenje Sunca, kada Mesec svojim prividnim diskom zakloni ceo prividni disk Sunca (što znači da je tada Mesečev prividni disk veći od prividnog diska Sunca), a nekad imamo prstenasto pomračenje Sunca, kada veličina Mesečevog prividnog diska nije dovoljna da zakloni ceo prividni disk Sunca, pa se ostatak Sunčevog diska vidi oko Mesečevog diska u vidu prstena.
Sasvim logično da će veća verovatnoća za prstenasta pomračenja biti onda kada je Zemlja na svojoj putanji bliža Suncu (a to je period kada je na severnoj Zemljinoj hemisferi zima), jer je tada veća i verovatnoća da će Sunčev prividni disk biti veći od Mesečevog. Tokom perioda kada je na severnoj Zemljinoj hemisferi leto – biće obrnuta situacija.

moja greška, hvala na ispravci