MATEMANIJA

Zdrav-po drugari
Imam neke poteskoce prilikom resavanja sledeceg zadatka:
Neka je [inlmath]ABCD[/inlmath] proizvoljan konveksan cetvorougao. Neka je [inlmath]X[/inlmath] tacka preseka njegovih dijagonala. Dokazati da ako vazi
[dispmath]XA\sin A+XC\sin C=XB\sin B+XD\sin D[/dispmath] onda je dati cetvorougao tetivan.


Ja sam se malo zeznuo time sto sam pokusao da dokazem obratno, tj. da iz toga da je cetvorougao tetivan dokazem datu relaciju, ali to je pogresno. Da bi se ovo korektno uradilo treba iz date relacije izgurati neku drugu koja opisuje tetivni cetvorougao, ali ja se tu bas i ne snalazim. Probao sam preko povrsine, sinusne, kosinusne...sve...
Dobro bi dosla neka lepa ideja
Fala

Tesko da mogu samo ideju da ti dam, jer ima sta da se radi u zadatku. Ali zato ne moram bas svaki svoj korak da opravdavam, tj. neka to bude za domaci. Da krenemo.

Oznacimo sa [inlmath]K[/inlmath], [inlmath]L[/inlmath], [inlmath]M[/inlmath], [inlmath]N[/inlmath] redom podnozja normala povucenih iz tacke [inlmath]X[/inlmath] na, redom, stranice [inlmath]AB[/inlmath], [inlmath]BC[/inlmath], [inlmath]CD[/inlmath], [inlmath]DA[/inlmath]. Primetimo da je tada srediste stranice [inlmath]AX[/inlmath] ujedno i centar kruga koji sadrzi tacke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]K[/inlmath], [inlmath]X[/inlmath] i [inlmath]N[/inlmath], te iz toga primetimo da vazi [inlmath]KN = XA \sin A[/inlmath]. Slicno ponovimo za ostale tacke (vidi se za koje), te vidimo da se data relacija [inlmath]XA\sin A+XC\sin C=XB\sin B+XD\sin D[/inlmath] svodi na [inlmath]KN + LM = MN + KL[/inlmath].

Takodje, primetimo da vazi [inlmath]KN = XK \cos \angle XKN + XN \cos \angle XNK = XK \cos \angle XAN + XN \cos \angle XAK[/inlmath] (i slcno za preostale tri stranice). Uvedimo dalje i sledece oznake: [inlmath]\angle XAD = \alpha_1[/inlmath], [inlmath]\angle XAB = \alpha_2[/inlmath], [inlmath]\angle XBA = \beta_1[/inlmath], [inlmath]\angle XBC=\beta_2[/inlmath], [inlmath]\angle XCB = \gamma_1[/inlmath]. [inlmath]\angle XCD= \gamma_2[/inlmath], [inlmath]\angle XDC=\delta_1[/inlmath] i [inlmath]\angle XDA=\delta_2[/inlmath]. Tada iz prethodnog vidimo da vazi [inlmath]KN = XK \cos \alpha_1 + XN \cos \alpha_2[/inlmath] i slicno za [inlmath]KL[/inlmath], [inlmath]LM[/inlmath] i [inlmath]MN[/inlmath]. Tada, iz relacije [inlmath]KN + LM = MN + KL[/inlmath] posle malo sredjivanja dobijamo da vazi
[dispmath]XK (\cos \alpha_1 - \cos \beta_2) + XL(\cos \gamma_2 - \cos \beta_1) + XM(\cos \gamma_1 - \cos \delta_2) + XN (\cos \alpha_2 - \cos \delta_1) = 0.[/dispmath] Cilj je da pokazemo da ove zagrade moraju biti jednake nuli, jer cemo odatle zbog monotonosti kosinusa na [inlmath][0,\pi][/inlmath] imati da je [inlmath]\alpha_1 = \beta_2[/inlmath] i slicno, odakle lako sledi trazena tetivnost.

U tom cilju, bez gubitka na opstosti pretpostavimo da je [inlmath]\alpha_1 \le \beta_2[/inlmath], sto je ekvivaletno sa tim da se tacka [inlmath]A[/inlmath] nalazi izvan kruga oko tacaka [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath], odakle dobijamo da je [inlmath]\alpha_2 \le \delta_1[/inlmath]. No, tada iz [inlmath]\alpha_1+\delta_2 = \beta_2+\gamma_1[/inlmath] dobijamo da je i [inlmath]\gamma_1 \le \delta_2[/inlmath]. Na slican nacin dalje dobijamo da je [inlmath]\gamma_2 \le \beta_1[/inlmath], sto nam daje da prethodno spomenute zagrade moraju biti [inlmath]\ge 0[/inlmath], a kako je dati zbir bas jednak nuli, to i zagrade moraju biti bas jednake nuli. Gotovo.

Pre svega svaka cast i hvala
Stigao sam i ja do ovog dela gde je [inlmath]NK+ML=KL+MN[/inlmath] ali ne preko ovog sinusa (sto je mnogo brzi nacin od mog), vec koriscenjem adicionih formula i Ptolomejeve teoreme. Ali dalje nisam znao .
Potpuno sam zaboravio na teoremu o projekcijama vec sam isao preko sinusne, kosinusne, a znao sam da treba da se dobije ovaj oblik koji si ti dobio, ali nikako da ga dobijem .
Inace, ovo je neki zadatak sa neke dodatne nastave, cisto onako kao zagrevanje za takmicenja
Hvala ti jos jednom