MATEMANIJA

Zdravo.
Potrebna mi je pomoc oko sledeceg zadatka. Ako mozete da mi pokazete kako se radi prvi deo, ja bih posle sam ovaj drugi za [inlmath]-\arccos[/inlmath].

Dokazati da je.
[dispmath]\arcsin x=\begin{cases}
\arccos\sqrt{1-x^2} & \text{za} & x\in\left[0,1\right]\\
-\arccos\sqrt{1-x^2} & \text{za} & x\in\left[-1,0\right]
\end{cases}[/dispmath] Da li moze ovako da se krene ?
Da transformisemo levu stranu u desnu [inlmath]\arcsin x=\arccos\sqrt{1-x^2}[/inlmath] na ovaj nacin:
[inlmath]\arcsin x=\arccos\bigl(\cos\left(\arcsin x\right)\bigr)[/inlmath] sada koristimo formulu [inlmath]\cos\left(\arcsin x\right)=\sqrt{1-x^2}[/inlmath] i dobijamo levu stranu [inlmath]\arccos\sqrt{1-x^2}[/inlmath]

Hvala.

Ovaj post pisem samo da vas podseti u koliko se zaboravili da mi odgovorite na pitanje.

Bez požurivanja, moliću (tačka 16. Pravilnika). Ovde ipak svi radimo volonterski.
Drugo, na forumu trenutno ima nekoliko neodgovorenih tema. Bilo bi lepo kad bi se svi oni koji postavljaju pitanja isto tako potrudili da pomognu i drugima koje muči neka matematička muka. Ovaj forum je zamišljen tako da pomoć bude dvosmerna, tj. uzajamna.

Što se tiče tvog postupka, razmišljanje ti je u redu, s tim da bi trebalo preciznije obrazložiti jednakosti do kojih si došao. Tačnije, treba razmatrati dva odvojena slučaja, [inlmath]x\in[0,1][/inlmath] i [inlmath]x\in[-1,0][/inlmath].

Slučaj [inlmath]x\in[0,1][/inlmath]:
Za [inlmath]x\in[0,\pi][/inlmath] važi da je [inlmath]x=\arccos(\cos x)[/inlmath], a budući da za ovaj pretpostavljeni slučaj [inlmath]\arcsin x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/inlmath], što je podinterval intervala [inlmath][0,\pi][/inlmath], možemo pisati [inlmath]\arcsin x=\arccos\bigl(\cos(\arcsin x)\bigr)[/inlmath].
Takođe, pošto [inlmath]\arcsin x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/inlmath], kosinus tog arkus sinusa mora biti pozitivan, tako da ako kosunus izražavamo preko sinusa, ispred korena uzimamo znak plus, tj. [inlmath]\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}[/inlmath].
[inlmath]\sin(\arcsin x)[/inlmath] je uvek jednako [inlmath]x[/inlmath], tako da je [inlmath]\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}[/inlmath].
I uvrštavanjem u jednakost [inlmath]\arcsin x=\arccos\bigl(\cos(\arcsin x)\bigr)[/inlmath] dobija se [inlmath]\arcsin x=\arccos\sqrt{1-x^2}[/inlmath].

Slučaj [inlmath]x\in[-1,0][/inlmath]:
Za [inlmath]x\in[-\pi,0][/inlmath] važi da je [inlmath]x=-\arccos(\cos x)[/inlmath], a budući da za ovaj pretpostavljeni slučaj [inlmath]\arcsin x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},0\right][/inlmath], što je podinterval intervala [inlmath][-\pi,0][/inlmath], možemo pisati [inlmath]\arcsin x=-\arccos\bigl(\cos(\arcsin x)\bigr)[/inlmath].
Takođe, pošto [inlmath]\arcsin x\in\left[-\frac{\pi}{2},0\right][/inlmath], kosinus tog arkus sinusa mora biti pozitivan, tako da, isto kao i u prethodnom slučaju, ako kosunus izražavamo preko sinusa, ispred korena uzimamo znak plus, tj. [inlmath]\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}[/inlmath].
[inlmath]\sin(\arcsin x)[/inlmath] je uvek jednako [inlmath]x[/inlmath], tako da je [inlmath]\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}[/inlmath].
I uvrštavanjem u jednakost [inlmath]\arcsin x=-\arccos\bigl(\cos(\arcsin x)\bigr)[/inlmath] dobija se [inlmath]\arcsin x=-\arccos\sqrt{1-x^2}[/inlmath].

Preporučujem da pogledaš i ovu temu.