MATEMANIJA

Pozdrav, imam problem oko izvođenja formule [inlmath]\displaystyle\sin(nx)=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}\cos^kx\cdot\sin^{n-k}x\cdot\sin\left[\frac{1}{2}(n-k)\pi\right][/inlmath]. Probao sam sledeće:
Preko Ojlerove formule sam izrazio:
[dispmath]e^{inx}-e^{-inx}=\Bigl[\cos(nx)+i\sin(nx)\Bigr]-\Bigl[\cos(-nx)+i\sin(-nx)\Bigr]=\\
=\Bigl[\cos(nx)+i\sin(nx)\Bigr]-\Bigl[\cos(nx)-i\sin(nx)\Bigr]=\\
=\cos(nx)+i\sin(nx)-\cos(nx)+i\sin(nx)=\\
=2i\sin(nx)\\
\downarrow\\
\sin(nx)=\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}[/dispmath] Malo sam to transformisao:
[dispmath]\sin(nx)=\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}=\\
=\frac{\left(e^{ix}\right)^n-\left(e^{-ix}\right)^n}{2i}=\\
=\frac{(\cos{x}+i\sin{x})^n-(\cos{x}-i\sin{x})^n}{2i}[/dispmath] E sad kada treba da primenimo binomnu formulu imamo 2 načina da to uradimo, ali pošto nam u željenom obliku figuriše [inlmath]\cos^kx[/inlmath] i [inlmath]\sin^{n-k}x[/inlmath] birajmo tako:
[dispmath]=\frac{\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}\cos^kx\cdot\sin^{n-k}x\cdot i^{n-k}-\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}\cos^kx\cdot\sin^{n-k}x\cdot(-i)^{n-k}}{2i}=\\
=\sum_{k=0}^n{n\choose k}\cos^kx\cdot\sin^{n-k}x\cdot\enclose{box}{\frac{i^{n-k}-(-i)^{n-k}}{2i}}[/dispmath] Kako uokvireni deo postane [inlmath]\displaystyle\sin\left[\frac{1}{2}(n-k)\pi\right][/inlmath]? Da li je uopšte ovaj put dobar ili sam samo iskomplikovao ovako?
Što se tiče nivoa, ja sam srednja škola i treba mi ovo zbog prijemnog i maturskog, svaka pomoć je dobrodošla

***Edit zaboravio sam da napisem da su [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] celi brojevi

Brojevi [inlmath]i^{n-k}[/inlmath] i [inlmath]-i^{n-k}[/inlmath] mogu se napisati u trigonometrijskom obliku kao:
[dispmath]i^{n-k}=\cos\left[\left(n-k\right)\frac{\pi}{2}\right]+i\sin\left[\left(n-k\right)\frac{\pi}{2}\right]\\
-i^{n-k}=\cos\left[\left(n-k\right)\frac{\pi}{2}\right]-i\sin\left[\left(n-k\right)\frac{\pi}{2}\right][/dispmath] I onda dobijamo:
[dispmath]\frac{i^{n-k}-(-i)^{n-k}}{2i}=\frac{\cancel{\cos\Bigl[\left(n-k\right)\frac{\pi}{2}\Bigr]}+i\sin\Bigl[\left(n-k\right)\frac{\pi}{2}\Bigr]-\cancel{\cos\Bigl[\left(n-k\right)\frac{\pi}{2}\Bigr]}-i\sin\Bigl[\left(n-k\right)\frac{\pi}{2}\Bigr]}{2i}=\\
=\frac{\cancel{i}\left(\sin\Bigl[\left(n-k\right)\frac{\pi}{2}\Bigr]+\sin\Bigl[\left(n-k\right)\frac{\pi}{2}\Bigr]\right)}{2\cancel{i}}=\frac{\cancel2\sin\Bigl[\left(n-k\right)\frac{\pi}{2}\Bigr]}{\cancel2}=\sin\left[\frac{1}{2}\left(n-k\right)\pi\right][/dispmath]
Inače, postoje i drugi oblici formule za [inlmath]\sin(nx)[/inlmath], kao na primer:
[dispmath]\sin(nx)=2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}+x\right)[/dispmath]
P. S.

ffilipovicc98 je napisao:***Edit zaboravio sam da napisem da su [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] celi brojevi

Pre će biti prirodni jer binomni obrazac koji si primenio pri izvođenju važi za prirodne brojeve [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] sa nulom.

Hvala, razumeo sam, da na prirodne sam mislio!