MATEMANIJA

Vrednost izraza [inlmath]\sin6^\circ-\sin42^\circ-\sin66^\circ+\sin78^\circ[/inlmath] jednaka je:

Pokusala sam da ovako pocnem resavanje, ali se ne snalazim
[dispmath]-2\sin13^\circ\cos24^\circ-2\sin72^\circ\cos6^\circ[/dispmath][dispmath]-2(\sin13^\circ\cos24^\circ+\sin72^\circ\cos6^\circ)[/dispmath]

Počni ovako
[dispmath]\left(\sin78^\circ-\sin42^\circ\right)-\left(\sin66^\circ-\sin6^\circ\right)[/dispmath]

Ja verujem da se ovo može mnogo jednostavnije uraditi. Pretpostavljam da je zadatak srednjoškolskog nivoa. Najverovatnije se koriste razne transformacije trigonometrijskih funkcija, ali ja trenutno s njima nisam ni dokle stigao. Ono što je očigledna greška u tvom postupku, što je i bobanex napisao, jeste da si izabrala pogrešne "sinuse" za grupisanje. Uvek gledaj malo unapred, ako znaš da ćeš dobiti poluzbir ili polurazliku nekih uglova gledaj da dobiješ neki tablični ugao.
Nedavno sam imao posla sa aritmetičkim nizovima, te otuda znam za sledeću formulu:
Ukoliko imamo sledeću sumu:
[dispmath]\sin x+\sin(x+d)+\sin(x+2d)+\cdots[/dispmath] Dakle, uglovi ovih sinusa formiraju aritmetičku progresiju. Tada je ovaj zbir zapravo jednak:
[dispmath]\sum_{k=0}^{n-1}\sin(x+kd)=\frac{\sin\left(n\cdot\frac{d}{2}\right)}{\sin\left(\frac{d}{2}\right)}\cdot\sin\left(\frac{2x+(n-1)d}{2}\right)[/dispmath] U našem slučaju možemo [inlmath]-\sin42^\circ[/inlmath] napisati kao [inlmath]\sin(-138^\circ)[/inlmath] i da zbog neparnosti sinusa možemo napisati [inlmath]-\sin66^\circ=\sin(-66^\circ)[/inlmath] i dobijamo zbir sinusa kod kojih uglovi čine aritmetičku progresiju sa razlikom [inlmath]d=72^\circ[/inlmath]:
[dispmath]\sin(-138^\circ),\;\sin(-66^\circ),\;\sin6^\circ,\;\sin78^\circ[/dispmath] Pa je suma ovog niza zapravo jednaka:
[dispmath]\frac{\sin\left(4\cdot\frac{72^\circ}{2}\right)}{\sin\left(\frac{72^\circ}{2}\right)}\cdot\sin\left(\frac{2\cdot(-138^\circ)+3\cdot72^\circ}{2}\right)\\
\frac{\cancel{\sin144^\circ}}{\cancel{\sin36^\circ}}\cdot\sin(-30^\circ)=-\frac{1}{2}[/dispmath] Ovde smo i iskoristili da je [inlmath]\sin144^\circ=\sin36^\circ[/inlmath] (jer su to suplementni uglovi).
Ponavljam, verovatno je ovo moguće rešiti jednostavnije.

Pozdrav, uh Corba zakomplikovao si ga vrhunski. Ovaj zadatak ili crtas trigonometrijski krug pa ces proceniti koliko je. Ili jednostavno nauci napamet koliko su [inlmath]\sin18^\circ[/inlmath] i [inlmath]\cos36^\circ[/inlmath] (cesti uglovi) [inlmath]\sin18^\circ[/inlmath] je [inlmath]\frac{\sqrt5-1}{4}[/inlmath] dok je [inlmath]\cos36^\circ[/inlmath] isto to samo sa plusom. Izvinjavam se za latex ali ne znam kako da ga koristim Inace nikakve formule ne pomazu za ovaj, grupises ih tako da imas [inlmath]\sin18^\circ[/inlmath] i [inlmath]\cos36^\circ[/inlmath] i te jednostavno moras napamet znati koliko su. Ili kao sto sam rekao preko trigonometrijskog kruga proceniti. Ovo kako si ti radio Corba, ipak nije predvidjeno za ovaj zadatak, a i niko ne zna ove formule sto si koristio, ovo je ipak gradivo srednjih skola.

Sređivanjem se dobija
[dispmath]\sin18^\circ-\cos36^\circ[/dispmath] odakle se dalje dobija
[dispmath]-2\sin18^\circ\cos36^\circ[/dispmath] daljim sređivanjem se dobija da je vrednost izraza [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath]
Za poslednji korak treba samo znati formulu za sinus dvostrukog ugla, za prethodne korake samo formulu za prevođenje razlike u proizvod trigonometrijskih funkcija.

@ razer123: Prvo, mislim da je krajnje vreme da naučiš LaTex. Ne možeš zadatak rešavati tako što ćeš učiti napamet koliko iznosi sinus nekog nekarakterističnog ugla jer si ga više puta video u zadacima. To može da prođe na prijemnom, ali na ispitu teško.

bobanex je napisao:Za poslednji korak treba samo znati formulu za sinus dvostrukog ugla, za prethodne korake samo formulu za prevođenje razlike u proizvod trigonometrijskih funkcija.

Formulom za prevođenje razlike u proizvod dobijamo izraz koji si napisao - [inlmath]-2\sin18^\circ\cos36^\circ[/inlmath]. Gde sada primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla?

[dispmath]-2\sin18^\circ\cos36^\circ=\\\
\\\
\frac{-2\sin18^\circ\cos18^\circ\cos36^\circ}{\cos18^\circ}=\\\
\\\
\frac{-\sin36^\circ\cos36^\circ}{\cos18^\circ}=\\\
\\\
\frac{-2\sin36^\circ\cos36^\circ}{2\cos18^\circ}\\\
\\\
=\frac{-\sin72^\circ}{2\cos18^\circ}=\\\
\\\
-\frac{1}{2}[/dispmath]

Pa što tako ne napisa? Onako ispade pomalo dvosmisleno, kao da si hteo da napišeš da [inlmath]\sin18^\circ[/inlmath] rastavimo kao sinus dvostrukog ugla. Moram priznati da sam se sad kada videh ovo rešenje setio jednog sličnog zadatka gde se to koristi. Inače, @bobanex, u slučaju da ne podrazumeva, svaka čast za rešenje. Baš mi se svidelo.
Kao što sam i napisao, znao sam da ima neka caka, ali nisam mogao da se dosetim.