MATEMANIJA

Evo ovako, imam problem sa sledecom jednacinom
[dispmath]\cos x+\cos2x=\sin3x[/dispmath] Pokusao sam svasta, i sa smenom [inlmath]\text{tg }\frac{x}{2}[/inlmath], medjutim dobijam polinom petog stepena koji nema realnih nula... Ali opet mi je najlogicnije resenje bilo da ovaj [inlmath]\sin3x[/inlmath] rastavim pa dobijam jednacinu
[dispmath]\cos x+\cos2x=\sin2x\cdot\cos x+\cos2x\cdot\sin x[/dispmath] Ako sada pokusam dalje da uprostim izraz na desnoj strani, ne dobijam nista bolje..
Ako bi mogla neka pomoc, unapred zahvalan!

Prvo iskoristiš formulu za prevođenje zbira kosinusa u proizvod:
[dispmath]\cos x+\cos2x=2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x}{2}\right)[/dispmath] Potom [inlmath]\sin3x[/inlmath] napišeš kao [inlmath]2\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x}{2}\right)[/inlmath] i dobiješ:
[dispmath]2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x}{2}\right)=2\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x}{2}\right)\\
\cos\frac{3x}{2}\cdot\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{3x}{2}\right)=0[/dispmath] Ovo će biti jednako nuli u dva slučaja, kada je [inlmath]\cos\frac{3x}{2}=0[/inlmath] ili [inlmath]\cos\frac{x}{2}=\sin\frac{3x}{2}[/inlmath]. Ovo ostavljam tebi.

Samo jedan mali komentar koji nema direktne veze sa ovim zadatkom. Polinom petog stepena (kao i svaki polinom neparnog stepena) mora da ima bar jednu realnu nulu. Da ne dužimo sad zašto, da ne odemo u polinome...

miletrans je napisao:Polinom petog stepena (kao i svaki polinom neparnog stepena mora da ima bar jednu realnu nulu.

Osim ako nema kompleksne koeficijente.