MATEMANIJA

Probni prijemni ispit ETF - 10. jun 2017.
12. zadatak

Pozdrav, imam jedan zadatak sa probnog na ETF-u 2017.
Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]|\sin x|=\sin x+2\cos x[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath](0,3\pi)[/inlmath] jednak je:

[inlmath]A)\;5\pi\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\frac{11\pi}{2}\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;\frac{9\pi}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{D)}\;\frac{19\pi}{4}\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;\frac{39\pi}{4}[/inlmath]

Rešenje je pod [inlmath]D)[/inlmath] ali ja sam dobila da je pod [inlmath]C)[/inlmath].
U zadatku sam imala dva slučaja kada je [inlmath]\sin x>0[/inlmath] i kada je [inlmath]\sin x<0[/inlmath].
I za rešenja sam dobila [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath], [inlmath]\frac{3\pi}{4}[/inlmath], [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath]
Gde sam pogrešila? Kako da uradim tačno zadatak?
Hvala unapred

Mislim da su resenja [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]5\cdot\frac{\pi}{2}[/inlmath] kada je sinus veci od nule i kada je sinus manji od nule resenje je [inlmath]7\cdot\frac{\pi}{4}[/inlmath], da ne kucam postupak ako mozes da se snadjes

I novi zadatak kucaj posebno a ne u komentare starih sto ce te verovatno i Daniel upozoriti

ako je sinus veci od nule jednacina postaje [inlmath]\cos x=0[/inlmath]

Da, da hvala...snasla sam se.

Nađa je napisao:I za rešenja sam dobila [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath], [inlmath]\frac{3\pi}{4}[/inlmath], [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath]

Uvrštavanjem svakog od ova tri rešenja u polaznu jednačinu možeš lako utvrditi da li su tačna ili ne.
Rešenje za koje utvrdiš da nije tačno možeš zatim uvrštavati u jedan po jedan korak svog postupka, kako bi locirala u kom je koraku došlo do greške.
Ovo je uopšteno uputstvo – znači, ne samo za ovaj zadatak, nego inače.

abudzabadabila je napisao:I novi zadatak kucaj posebno a ne u komentare starih sto ce te verovatno i Daniel upozoriti

Dabome.

Zadatak glasi: Koliki je zbir svih realnih rešenja na intervalu [inlmath](0,3\pi)[/inlmath]
Rezutat je: [inlmath]\frac{19\pi}{4}[/inlmath]
[dispmath]|\sin x|=\sin x+2\cos x[/dispmath] Zadatak deluje poprilično lako, međutim ne uspevam da ga rešim kako treba.
Moj postupak
Prvi slučaj:
[dispmath]\sin x=\sin x+2\cos x[/dispmath][dispmath]\cos x=0[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{2}+n\pi,\;n=\{1,2,3\}[/dispmath] Drugi slučaj:
[dispmath]-\sin x=\sin x+2\cos x[/dispmath][dispmath]-2\sin x=2\cos x[/dispmath][dispmath]\sin x=-\cos x[/dispmath][dispmath]\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-\cos x}{\cos x}[/dispmath][dispmath]\tan x=-1[/dispmath][dispmath]x=-\frac{\pi}{4}+n\pi,\;n=\{1,2,3\}???[/dispmath] Nakon što saberem sva rešenja, rezultat ne bude ni blizu [inlmath]\frac{19\pi}{4}[/inlmath]
Prosvetlite me. Verovatno propuštam nešto veoma očigledno, ali ne uviđam šta.
Ili to, ili je zadatak komplikovaniji nego što se na prvi pogled čini i treba da se radi drugom metodom?

Ovo je 12. zadatak s probnog prijemnog za ETF 2017. godine (što uvek treba naglasiti) i, budući da na stranici za taj prijemni ispod tog zadatka postoji link, to znači da je već obrađivan na forumu i da eventualna dodatna pitanja treba postaviti u toj temi, kako ne bismo duplirali zadatke.

Ovde si razdvojio rešavanje na dva slučaja, što je u redu jer imamo apsolutnu vrednost, ali si zaboravio da postaviš uslov za svaki od ta dva slučaja i da odbaciš ona rešenja koja ne ispunjavaju taj uslov.

Budući da u linkovanoj temi nema detaljno obrađen zadatak, neće škoditi da ceo postupak imamo u ovoj temi. Verujem i da će philospher lakše uvideti svoje greške ako ispred sebe ima celokupno rešenje.
[dispmath]|\sin x|=\sin x+2\cos x\\
\sin x=\sin x+2\cos x,\hspace{3mm}\sin x\ge0\\
\cos x=0\;\Longrightarrow\;x=\frac{\pi}{2}+n\pi\\
0<\frac{\pi}{2}+n\pi<3\pi\;\Longrightarrow\;n=0,1,2\\
x_1=\frac{\pi}{2}+0\cdot\pi=\frac{\pi}{2}\hspace{7mm}x_2=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2}\hspace{7mm}x_3=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2}[/dispmath] Zbog uslova [inlmath]\sin x\ge0[/inlmath] rešenje [inlmath]x_2=\frac{3\pi}{2}[/inlmath] odbacujemo. Sad idemo drugi slučaj:
[dispmath]-\sin x=\sin x+2\cos x,\hspace{2mm}\sin x<0\\
\sin x+\cos x=0\\
\sqrt2\left(\sin x\frac{\sqrt2}{2}+\cos x\frac{\sqrt2}{2}\right)=0\\
\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}=0\\
\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0\\
x+\frac{\pi}{4}=k\pi\;\Longrightarrow\;x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\
0<-\frac{\pi}{4}+k\pi<3\pi\;\Longrightarrow\;k=1,2,3\\
x_4=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}\hspace{7mm}x_5=-\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{7\pi}{4}\hspace{7mm}x_6=-\frac{\pi}{4}+3\pi=\frac{11\pi}{4}[/dispmath] Zbog uslova [inlmath]\sin x<0[/inlmath] rešenja [inlmath]x_4=\frac{3\pi}{4}[/inlmath] i [inlmath]x_6=\frac{11\pi}{4}[/inlmath] odbacujemo.
Prema tome, konačno rešenje zadatka biće
[dispmath]\enclose{box}{x_1+x_3+x_5=\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{2}+\frac{7\pi}{4}=\frac{19\pi}{4}}[/dispmath]