MATEMANIJA

Jednačina [inlmath]\tan x\tan2x=-3[/inlmath] na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] ima:
1) tačno jedno rešenje
2) tačno dva rešenja
3) tačno tri rešenja
4) tačno četiri rešenja
5) tačno pet rešenja
[dispmath]\tan x\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}=-3[/dispmath][dispmath]\frac{2\tan^2x}{1-\tan^2x}=-3[/dispmath][dispmath]2\tan^2x=-3+3\tan^2x[/dispmath][dispmath]\tan^2x=3[/dispmath][dispmath]\tan x=\pm\sqrt3[/dispmath][dispmath]\tan x=\sqrt3[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{3}+k\pi[/dispmath][dispmath]\tan x=-\sqrt3[/dispmath][dispmath]x=-\frac{\pi}{3}+k\pi[/dispmath] Ja sam dobila dva rešenja, ali mislim da ima sigurno više. U vezi sa tim, imam pitanje: da li je tačno da kad imam npr. [inlmath]\tan x=1[/inlmath] da takva jednačina ima samo jedno rešenje?

Ja sam dobila 4 resenja, 2 su ista kao tvoja, medjutim kada imas da je
[dispmath]\tan x=+\sqrt3[/dispmath] [inlmath]\sin x[/inlmath] moze da ti bude pozitivan samo ako je i [inlmath]\cos x[/inlmath] pozitivan, i negativan samo ako je i [inlmath]\cos x[/inlmath] negativan tako da kada su oba pozitivna to je ovo tvoje resenje, nisi gledala kada su oba negativna
[dispmath]x=\frac{4\pi}{3}+k\pi[/dispmath] Sada kod drugog slucaja imas resenja u [inlmath]IV[/inlmath] i [inlmath]II[/inlmath] kvadrantu, gde je ili [inlmath]\sin x[/inlmath] negativan ili [inlmath]\cos x[/inlmath] negativan
Ti si dobila resenje za [inlmath]IV[/inlmath] kvadrant, a za drugi je
[dispmath]x=\frac{2\pi}{3}+k\pi[/dispmath]

Mislim da je to to, koje je resenje zadatka?

I da
[dispmath]\tan x=1[/dispmath] Opet gledano onako kako sam ti objasnila da su oba ([inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath]) pozitivna ili negativna
Dva su resenja za taj [inlmath]\tan x[/inlmath]
[dispmath]x_1=\frac{\pi}{4}[/dispmath] i
[dispmath]x_2=\frac{5\pi}{4}[/dispmath] Ali ako ti i dalje nije jasno, nacrtaj trigonometrijski krug i videces gde je [inlmath]\tan x=1[/inlmath]

I meni je tako logično bilo, nego meni je profesorka pogrešno rekla da [inlmath]\tan x[/inlmath] i [inlmath]\cot x[/inlmath] imaju uvek samo jedno rešenje, što nije tačno. Samo [inlmath]\sin x=0[/inlmath], [inlmath]\sin x=1[/inlmath], [inlmath]\sin x=-1[/inlmath], [inlmath]\cos x=1[/inlmath], [inlmath]\cos x=0[/inlmath] i [inlmath]\cos x=-1[/inlmath] imaju jedno rešenje, ali u svim ostalim slučajevima su valjda dva rešenja?

Da, rešenje je pod [inlmath]4)[/inlmath].

MartinaJuric je napisao:I meni je tako logično bilo, nego meni je profesorka pogrešno rekla da [inlmath]\tan x[/inlmath] i [inlmath]\cot x[/inlmath] imaju uvek samo jedno rešenje, što nije tačno.

Upravo tako . Nikad ne uzimaj zdravo za gotovo bilo sta da ti bilo ko kaze, cak i profesor Koliko puta se meni desilo da ispravljam mog profesora na casu, pa i kad nam da domace zadatke koji ne mogu da se rese Uvek kada nisi sigurna proveri

MartinaJuric je napisao:[dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]\tan x=\sqrt3[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{3}+k\pi[/dispmath][dispmath]\tan x=-\sqrt3[/dispmath][dispmath]x=-\frac{\pi}{3}+k\pi[/dispmath] Ja sam dobila dva rešenja, ali mislim da ima sigurno više.

Ti si ovime dobila četiri rešenja na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]. Na tom intervalu, rešenje [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath] predstavlja zapravo dva rešenja (za [inlmath]k=0[/inlmath] to je [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath] i za [inlmath]k=1[/inlmath] to je [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}[/inlmath], dok za ostale vrednosti [inlmath]k[/inlmath] rešenja nisu u zadatom intervalu). Slično i za [inlmath]x=-\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath] – na zadatom intervalu rešenja su [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}[/inlmath] (za [inlmath]k=1[/inlmath]) i [inlmath]x=\frac{5\pi}{3}[/inlmath] (za [inlmath]k=2[/inlmath]).

MartinaJuric je napisao:U vezi sa tim, imam pitanje: da li je tačno da kad imam npr. [inlmath]\tan x=1[/inlmath] da takva jednačina ima samo jedno rešenje?

Takva jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, zbog periodičnosti tangensa. Rešenje je [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath], gde je [inlmath]k[/inlmath] bilo koji ceo broj (a njih ima beskonačno mnogo). A ako je pitanje koliko ima rešenja na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath], tada ima dva rešenja ([inlmath]x=\frac{\pi}{4}[/inlmath] za [inlmath]k=0[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{5\pi}{4}[/inlmath] za [inlmath]k=1[/inlmath], kako ti je i Nađa odgovorila). A ako se posmatra interval [inlmath][0,\pi][/inlmath], ili [inlmath][\pi,2\pi][/inlmath], ili [inlmath][-\pi,0][/inlmath], ili [inlmath]\Bigl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath], ili bilo koji interval širine [inlmath]\pi[/inlmath], tada je tačan odgovor ono što ti je profesorka rekla – jedno rešenje.
Najbolje je da nacrtaš trigonometrijsku kružnicu – tangens nekog ugla očitava se na onoj tangenti trigonometrijske kružnice koja dodiruje kružnicu u njenoj krajnjoj desnoj tački (tačka [inlmath](1,0)[/inlmath]).

MartinaJuric je napisao:I meni je tako logično bilo, nego meni je profesorka pogrešno rekla da [inlmath]\tan x[/inlmath] i [inlmath]\cot x[/inlmath] imaju uvek samo jedno rešenje, što nije tačno. Samo [inlmath]\sin x=0[/inlmath], [inlmath]\sin x=1[/inlmath], [inlmath]\sin x=-1[/inlmath], [inlmath]\cos x=1[/inlmath], [inlmath]\cos x=0[/inlmath] i [inlmath]\cos x=-1[/inlmath] imaju jedno rešenje, ali u svim ostalim slučajevima su valjda dva rešenja?

Ovo pitanje je vrlo neprecizno postavljeno, jer opet nije rečeno koji se interval posmatra. Ako se ne posmatra interval već se posmatraju sva rešenja za bilo koju od ovih jednačina, rešenja ima beskonačno mnogo, zbog pomenute periodičnosti.

Daniel je napisao:

MartinaJuric je napisao:[dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]\tan x=\sqrt3[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{3}+k\pi[/dispmath][dispmath]\tan x=-\sqrt3[/dispmath][dispmath]x=-\frac{\pi}{3}+k\pi[/dispmath] Ja sam dobila dva rešenja, ali mislim da ima sigurno više.

Ti si ovime dobila četiri rešenja na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]. Na tom intervalu, rešenje [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath] predstavlja zapravo dva rešenja (za [inlmath]k=0[/inlmath] to je [inlmath]x=\frac{\pi}{3}[/inlmath] i za [inlmath]k=1[/inlmath] to je [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}[/inlmath], dok za ostale vrednosti [inlmath]k[/inlmath] rešenja nisu u zadatom intervalu). Slično i za [inlmath]x=-\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath] – na zadatom intervalu rešenja su [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}[/inlmath] (za [inlmath]k=1[/inlmath]) i [inlmath]x=\frac{5\pi}{3}[/inlmath] (za [inlmath]k=2[/inlmath]).

A kako da znam da li menjam [inlmath]k=0[/inlmath] i [inlmath]k=1[/inlmath] ili [inlmath]k=1[/inlmath] i [inlmath]k=2[/inlmath] u rešenje?

Uvrštavaš one vrednosti [inlmath]k[/inlmath] koje će zadovoljiti da ugao [inlmath]x[/inlmath] bude u zadatom intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath].
Možeš postaviti nejednačinu kako bi odredila vrednosti [inlmath]k[/inlmath], recimo za [inlmath]x=\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath]:
[dispmath]0\le x\le2\pi\\
\left.0\le\frac{\pi}{3}+k\pi\le2\pi\quad\right/\cdot\frac{3}{\pi}\\
0\le1+3k\le6\\
-1\le3k\le5\quad\Big/:3\\
-\frac{1}{3}\le k\le\frac{5}{3}[/dispmath] a pošto je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj, to znači da iz intervala [inlmath]\Bigl[-\frac{1}{3},\frac{5}{3}\Bigr][/inlmath] može uzeti samo vrednosti [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].

Sad to isto uradiš za [inlmath]x=-\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath]...

Kad uradim za [inlmath]-\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath] dobijem još dva rešenja, a ne jedno.. proverite da li je tačno, ali radila sam onako kako je @Daniel uradio za [inlmath]\frac{\pi}{3}+k\pi[/inlmath]
[dispmath]0\le-\frac{\pi}{3}+k\pi\le2\pi[/dispmath][dispmath]0\le3k-1\le6[/dispmath][dispmath]3k\ge1[/dispmath][dispmath]k\ge\frac{1}{3}[/dispmath][dispmath]3k\le7[/dispmath][dispmath]k\le\frac{7}{3}[/dispmath][dispmath]k\in\left[\frac{1}{3},\frac{7}{3}\right][/dispmath] U ovom intervalu se nalaze [inlmath]k=0[/inlmath], [inlmath]k=1[/inlmath], [inlmath]k=2[/inlmath]?
Za [inlmath]k=1[/inlmath] [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}[/inlmath]
Za [inlmath]k=2[/inlmath] [inlmath]x=\frac{5\pi}{3}[/inlmath]