MATEMANIJA

Jednačina [inlmath]\log(1+\cos2x)+\frac{1}{2}\log\frac{1+\cos2x}{2}=\log(\cos x)[/inlmath] na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] ima:
1) jedno rešenje
2) dva rešenja
3) tri rešenja
4) četiri rešenja
5) beskonačno mnogo rešenja
[dispmath]\log(1+\cos2x)+\log\sqrt{\frac{1+\cos2x}{2}}=\log(\cos x)[/dispmath][dispmath]\sqrt{\frac{1+\cos2x}{2}}=\cos x[/dispmath][dispmath]1+\cos2x=2\cos^2x[/dispmath][dispmath]\log(2\cos^2x)+\log(\cos x)=\log(\cos x)[/dispmath][dispmath]\log(2\cos^2x)=0[/dispmath][dispmath]\cos x=\pm\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath][dispmath]\cos x=\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{\pi}{4}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x_2=-\frac{\pi}{4}+2k\pi[/dispmath][dispmath]\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath] Dalje nisam sigurna za ovo..Može li neko da pomogne?

Vodi računa da sve što se nalazi pod logaritmom mora da ima pozitivnu vrednost. Ako bi uzela [inlmath]\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], logaritam na desnoj strani početne jednačine ne bi bio definisan.

Onda jednačina ima samo dva rešenja?

Tako je. U zadatom intervalu jednačina ima dva rešenja koja si napisala.

Ne vidim da je uopšte napisala konkretna rešenja.

Iz napisanog [inlmath]x_1=\frac{\pi}{4}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x_2=-\frac{\pi}{4}+2k\pi[/inlmath] i konstatacije da u navedenom opsegu jednačina ima dva rešenja, ja sam izvukao zaključak da je MartinaJuric pravilno zaključila da su rešenja [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] i [inlmath]\frac{7\pi}{4}[/inlmath].

MartinaJuric je napisao:[dispmath]1+\cos2x=2\cos^2x[/dispmath][dispmath]\log(2\cos^2x)+\log(\cos x)=\log(\cos x)[/dispmath][dispmath]\log(2\cos^2x)=0[/dispmath][dispmath]\cos x=\pm\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath][dispmath]\cos x=\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath]

Dodao bih samo da je ovde bespotrebno iskomplikovano. Bez ovoga bismo dobili:
[dispmath]\log(1+\cos2x)=0\;\Longrightarrow\;\cos2x=0\\
\vdots[/dispmath]