MATEMANIJA

Jednačina [inlmath]2\sin^2x+\cos4x=0[/inlmath] na intervalu [inlmath][0,\pi][/inlmath]:
1) ima tačno osam rešenja
2) ima tačno tri rešenja
3) ima tačno šest rešenja
4) ima tačno četiri rešenja
5) ima tačno pet rešenja

Tačno rešenje je pod [inlmath]4)[/inlmath]. Ja sam dobila tri rešenja, ako može neko da mi napiše gde sam pogrešila?
[dispmath]2\sin^2x+\cos^22x-\sin^22x=0[/dispmath][dispmath]1-\cos2x+\cos^22x-1+\cos^22x=0[/dispmath][dispmath]2\cos^22x-\cos2x=0[/dispmath][dispmath]\cos2x(2\cos x-1)=0[/dispmath][dispmath]\cos2x=0[/dispmath][dispmath]2x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath][dispmath]\cos x=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]x_2=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath]

Ovde.

MartinaJuric je napisao:[dispmath]2\cos^22x-\cos2x=0[/dispmath][dispmath]\cos2x(2\cos{\color{red}x}-1)=0[/dispmath]

Treba [inlmath]\cos2x(2\cos{\color{red}2}x-1)=0[/inlmath].

MartinaJuric je napisao:[dispmath]\cos x=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]x_2=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath]

Ovde si pogresila jer treba da glasi
[dispmath]\cos{2x}=\frac{1}{2}[/dispmath] Ali u prethodnom slucaju ti fali jos jedno resenje, imas dva, naime [inlmath]x_1=\frac{\pi}{4}[/inlmath] ali i [inlmath]x_2=\frac{3\pi}{4}[/inlmath]
I imas jos dva resenja u drugom slucaju sto je ukupno [inlmath]4[/inlmath]
U drugom slucaju su sledeca:
[dispmath]2x=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath] ili
[dispmath]2x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi[/dispmath] I u skladu sa datim intervalom iz prve jednacine imas samo jedno resenje to je [inlmath]x_3=\frac{\pi}{6}[/inlmath]
a za drugu isto jedno resenje [inlmath]x_4=\frac{5\pi}{6}[/inlmath]

Sporo kuckam, sto je vec dokazano xD Tek sad vidim izvini Martina , tek sam sad videla da si pitala gde si pogresila, a ne da se resi zadatak

Imam samo jedno pitanje u vezi sa [inlmath]\cos2x=\frac{1}{2}[/inlmath]. Jedno rešenje je [inlmath]\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath], a drugo [inlmath]\frac{5\pi}{6}+k\pi[/inlmath], nije mi baš jasno zašto [inlmath]\frac{5\pi}{6}[/inlmath], ja bih stavila [inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath] kao drugo rešenje..

[inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath] nije u intervalu [inlmath][0,\pi][/inlmath] , a kosinus je jednak [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] u [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] ali ti u zadataku imas [inlmath]\cos2x[/inlmath] i to se podeli sa dva...tako da su resenja u skladu sa intervalom datim u zadatku dobijena za [inlmath]k=0[/inlmath], za ostale vrednosti [inlmath]k[/inlmath] ne nalaze se u datom intervalu...

Nadam se da je dozvoljeno da u ovoj istoj temi postavim još jedno pitanje.. Mi smo u školi učili da kad imamo da rešimo trigonometrijsku jednačinu npr. kao u ovom zadatku [inlmath]\cos2x=\frac{1}{2}[/inlmath] jedno rešenje će biti [inlmath]\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] tj. [inlmath]\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath], a drugo isto kao i prvo samo minus ispred ---> [inlmath]-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] tj. [inlmath]-\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath]. Sad ne znam koliko je ovo tačno, ako se [inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath] ne nalazi na datom intervalu u zadatku, da li onda [inlmath]\frac{5\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] predstavlja isto što i [inlmath]-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] samo transformisano da bude prilagođeno ovom zadatku?

Tako je. Stvari možeš da posmatraš i ovako:
[dispmath]x=-\frac{\pi}{6}+k\pi[/dispmath][dispmath]k=1[/dispmath][dispmath]x=-\frac{\pi}{6}+\frac{6\pi}{6}[/dispmath][dispmath]x=\frac{5\pi}{6}[/dispmath] Tako možeš da povećavaš [inlmath]k[/inlmath] dok ne "izađeš" iz intervala zadatog u zadatku. Samo pazi, u drugom delu pitanja si napisala [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] umesto [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath].

Nađa je napisao:Ali u prethodnom slucaju ti fali jos jedno resenje, imas dva, naime [inlmath]x_1=\frac{\pi}{4}[/inlmath] ali i [inlmath]x_2=\frac{3\pi}{4}[/inlmath]

Rešenje [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath] koje je Martina napisala obuhvata i rešenje [inlmath]x=\frac{\pi}{4}[/inlmath] (za [inlmath]k=0[/inlmath]) i rešenje [inlmath]x=\frac{3\pi}{4}[/inlmath] (za [inlmath]k=1[/inlmath]).

MartinaJuric je napisao:Jedno rešenje je [inlmath]\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath], a drugo [inlmath]\frac{5\pi}{6}+k\pi[/inlmath], nije mi baš jasno zašto [inlmath]\frac{5\pi}{6}[/inlmath], ja bih stavila [inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath] kao drugo rešenje..

Rešenje [inlmath]\frac{5\pi}{6}+k\pi[/inlmath] potpuno je isto kao i rešenje [inlmath]-\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath]. Ne zaboravi da [inlmath]k[/inlmath] može biti bilo koji ceo broj od [inlmath]-\infty[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath].
Ako u [inlmath]-\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath] uvrstiš [inlmath]k=0[/inlmath], a u [inlmath]\frac{5\pi}{6}+k\pi[/inlmath] uvrstiš [inlmath]k=-1[/inlmath], dobićeš istu vrednost, [inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath].
Ako u [inlmath]-\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath] uvrstiš [inlmath]k=1[/inlmath], a u [inlmath]\frac{5\pi}{6}+k\pi[/inlmath] uvrstiš [inlmath]k=0[/inlmath], dobićeš istu vrednost, [inlmath]\frac{5\pi}{6}[/inlmath].
Ako u [inlmath]-\frac{\pi}{6}+k\pi[/inlmath] uvrstiš [inlmath]k=2[/inlmath], a u [inlmath]\frac{5\pi}{6}+k\pi[/inlmath] uvrstiš [inlmath]k=1[/inlmath], dobićeš istu vrednost, [inlmath]\frac{11\pi}{6}[/inlmath].
Itd...

Ponovo gledam ovu jednačinu i imam još jedno pitanje - da li bi jednačina [inlmath]\cos2x=0[/inlmath] imala dva rešenja da u zadatku nije zadat interval odnosno samo piše da se reši jednačina?

Da nije zadat interval, naravno da bi imala beskonačno mnogo rešenja. Zbog periodičnosti kosinusne funkcije.