MATEMANIJA

Ovo je zadatak koji je bio juce na probnom prijemnom na FON-u, u pitanju je 19. zadatak i on glasi:
Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]\cos7x+\cos3x+2\sin^2x=1[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath]\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath]
Resenje je [inlmath]\left(\frac{67\pi}{60}\right)[/inlmath]
Ne znam sta da radim sa ovim [inlmath]\cos7x[/inlmath], mogu da prikazem [inlmath]\cos3x[/inlmath] kao [inlmath]4\cos^3x-\cos3x[/inlmath] ali ne vidim kako bi mi to pomoglo kad imam [inlmath]\cos7x[/inlmath]

Zbir kosinusa prevedi u proizvod kosinusa. Ono što ostane je kosinus dvostrukog ugla.

Nisam dobio tacno resenje ali mislim da sam blizu.
Formulom za transformaciju zbira u proizvod od [inlmath]\cos7x+\cos3x[/inlmath] dobijamo [inlmath]2\cos5x\cos2x[/inlmath], a od [inlmath]2\sin^2x[/inlmath] formulom za polovinu ugla, dobijamo [inlmath]1-\cos2x[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath] kratimo i sada jednacina izgleda ovako:
[dispmath]2\cos5x\cos2x-\cos2x=0[/dispmath][inlmath]\cos2x[/inlmath] prebacujemo desno i delimo sa istim, tako dobijamo [inlmath]2\cos5x=1[/inlmath] tj. [inlmath]\cos5x=\frac{1}{2}[/inlmath]

Iz ovoga dobijam resenja [inlmath]\frac{7\pi}{15},\frac{\pi}{15},\frac{\pi}{3}[/inlmath] ali sabiranjem tih resenja ne dobijam tacno.

Pa kada se razbacuješ sa rešenjima nemoj da deliš ništa.

Vidim, gubim jedno resenje... trebalo bi da izvučem [inlmath]\cos2x[/inlmath] ispred zagrade ako se ne varam.

Sad sam radio isto tako, samo sto sam ja izvukao [inlmath]\cos2x[/inlmath] i dobio da je [inlmath]\cos2x=0[/inlmath] i [inlmath]2\cos5x-1=0[/inlmath].
Daljim resavanjem dobijam da je [inlmath]x=\left(\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath], [inlmath]x=\left(\frac{3\pi}{4}\right)[/inlmath], [inlmath]x=\left(\frac{\pi}{15}\right)[/inlmath] i [inlmath]x=\left(\frac{29\pi}{15}\right)[/inlmath], sto nije tacno jer ne dobijam tacno resenje.

Trigonometrijske funkcije su periodicne. Dobija se
[dispmath]x=\frac{\pi+6\cdot k\cdot\pi}{15}[/dispmath] kao jedno od rjesenja, pa su rjesenja na intervalu [inlmath]\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath]
[dispmath]x=\frac{\pi}{15}[/dispmath] i
[dispmath]x=\frac{7\cdot\pi}{15}[/dispmath] ostalo je tacno sve, samo nemoj oznacavati sumu sa [inlmath]x[/inlmath], neko ce pogresno protumaciti da je to jedno od rjesenja jednacine

[dispmath]\frac{\pi}{15}+\frac{7\pi}{15}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{67\pi}{60}[/dispmath] Ovako treba da izgleda zbir.

Slobodan je napisao:Daljim resavanjem dobijam da je [inlmath]x=\left(\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath], [inlmath]x=\left({\color{red}\frac{3\pi}{4}}\right)[/inlmath], [inlmath]x=\left(\frac{\pi}{15}\right)[/inlmath] i [inlmath]x=\left({\color{red}\frac{29\pi}{15}}\right)[/inlmath], sto nije tacno jer ne dobijam tacno resenje.

Crveno obležena rešenja se ne nalaze unutar intervala [inlmath]\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], što je interval koji je dat u zadatku.