MATEMANIJA

Jednačina [inlmath]\cos^4x-\sin^4x=\cos x[/inlmath] na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] ima:
[inlmath]1)[/inlmath] beskonačno mnogo rešenja
[inlmath]2)[/inlmath] tačno dva rešenja
[inlmath]3)[/inlmath] tačno tri rešenja
[inlmath]4)[/inlmath] tačno četiri rešenja
[inlmath]5)[/inlmath] tačno pet rešenja
[dispmath]\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x+\sin^2x\right)=\cos x[/dispmath][dispmath]\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=\cos x[/dispmath][dispmath]\cos2x=\cos x[/dispmath][dispmath]\cos2x-\cos x=0[/dispmath][dispmath]-2\sin{\frac{2x+x}{2}}\sin{\frac{2x-x}{2}}=0[/dispmath][dispmath]-2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}=0[/dispmath][dispmath]-2\sin\frac{3x}{2}=0[/dispmath][dispmath]\sin\frac{3x}{2}=0[/dispmath][dispmath]\frac{3x}{2}=k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{2k\pi}{3}[/dispmath][dispmath]\sin\frac{x}{2}=0[/dispmath][dispmath]\frac{x_2}{2}=k\pi[/dispmath][dispmath]x_2=2k\pi[/dispmath] Ja sam dobila da ima tri rešenja, to su: [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath], [inlmath]\frac{4\pi}{3}[/inlmath], [inlmath]2\pi[/inlmath]
Da li je ovo tačno?

MartinaJuric je napisao:[dispmath]\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x+\sin^2x\right)=\cos x[/dispmath][dispmath]\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=\cos x[/dispmath]

E ja sam ovde malo uprostila [inlmath]\sin^2x[/inlmath] napisala sam kao [inlmath]1-\cos^2x[/inlmath] i onda se dobije kvadratna jednacina, pre toga sam uvela smenu da je [inlmath]\cos x=t[/inlmath]

Resenje [inlmath]t=2[/inlmath] ne dolazi u obzir ne moze [inlmath]\cos x=2[/inlmath] tako da [inlmath]\cos x=-1[/inlmath]
[inlmath]x=k\pi[/inlmath] odnosno [inlmath]0,\pi,2\pi[/inlmath]

@MartinaJuric: Koliko iznosi [inlmath]\sin0[/inlmath]?

@MartinaJuric izostavila si nulu kao rešenje mada se dva puta pojavljuje.

[inlmath]\sin0=0[/inlmath] ?

Naravno. Čemu znak pitanja? Moje pitanje je bilo retorsko. Samo da ti skrenem pažnju na propust.

Hahah ma više ništa nisam sigurna Npr. u ovom zadatku sam samo džabe zakomplikovala, a može da se uradi jednostavnije kao što je i Nađa napisala

Tvoje rešenje je sasvim ok samo pazi šta radiš kada iz opštih rešenja (sa [inlmath]k[/inlmath]) kreneš da tražiš konkretna rešenja u nekom intervalu.
Inače Nađino rešenje nije tačno jer je nešto pogrešila oko kvadratne jednačine, mada je dobro počela.
[dispmath]\cos^2x-\sin^2x=\cos x\\
\cos^2x-1+\cos^2x=\cos x\\
2\cos^2x-\cos x-1=0\\
\cos x=a\\
2a^2-a-1=0\\
a_1=1\\
a_2=-\frac{1}{2}[/dispmath] [inlmath]\cos x=-1[/inlmath] nema rešenja koja su navedena.

E da, baš sam to htela sad da napišem. Mislim da nije dobro uradila kvadratnu, ne dobije se [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] nego [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath]

Imam jedno pitanje vezano uopšte za trignometrijske jednačine. Npr. meni nije problem da rešim jednačinu, ali na kraju se zapetljam oko tih rešenja. U jednoj jednačini sam sredila do kraja i dobila [inlmath]\cos2x=0[/inlmath]. Da li će tu biti samo jedno rešenje a to je [inlmath]\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath] ili će biti još neko? A u zadatku nije bio dat interval, samo piše da se reši jednačina.

A što se tiče ovog zadatka ovde, je l' na kraju ima samo tri rešenja?