MATEMANIJA

Jednačina [inlmath]\cos^4x-\sin^4x=\cos x[/inlmath] na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] ima:
[inlmath]1)[/inlmath] beskonačno mnogo rešenja
[inlmath]2)[/inlmath] tačno dva rešenja
[inlmath]3)[/inlmath] tačno tri rešenja
[inlmath]4)[/inlmath] tačno četiri rešenja
[inlmath]5)[/inlmath] tačno pet rešenja
[dispmath]\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x+\sin^2x\right)=\cos x[/dispmath][dispmath]\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=\cos x[/dispmath][dispmath]\cos2x=\cos x[/dispmath][dispmath]\cos2x-\cos x=0[/dispmath][dispmath]-2\sin{\frac{2x+x}{2}}\sin{\frac{2x-x}{2}}=0[/dispmath][dispmath]-2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}=0[/dispmath][dispmath]-2\sin\frac{3x}{2}=0[/dispmath][dispmath]\sin\frac{3x}{2}=0[/dispmath][dispmath]\frac{3x}{2}=k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{2k\pi}{3}[/dispmath][dispmath]\sin\frac{x}{2}=0[/dispmath][dispmath]\frac{x_2}{2}=k\pi[/dispmath][dispmath]x_2=2k\pi[/dispmath] Ja sam dobila da ima tri rešenja, to su: [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath], [inlmath]\frac{4\pi}{3}[/inlmath], [inlmath]2\pi[/inlmath]
Da li je ovo tačno?

MartinaJuric je napisao:[dispmath]\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x+\sin^2x\right)=\cos x[/dispmath][dispmath]\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=\cos x[/dispmath]

E ja sam ovde malo uprostila [inlmath]\sin^2x[/inlmath] napisala sam kao [inlmath]1-\cos^2x[/inlmath] i onda se dobije kvadratna jednacina, pre toga sam uvela smenu da je [inlmath]\cos x=t[/inlmath]

Resenje [inlmath]t=2[/inlmath] ne dolazi u obzir ne moze [inlmath]\cos x=2[/inlmath] tako da [inlmath]\cos x=-1[/inlmath]
[inlmath]x=k\pi[/inlmath] odnosno [inlmath]0,\pi,2\pi[/inlmath]

@MartinaJuric: Koliko iznosi [inlmath]\sin0[/inlmath]?

@MartinaJuric izostavila si nulu kao rešenje mada se dva puta pojavljuje.

[inlmath]\sin0=0[/inlmath] ?

Naravno. Čemu znak pitanja? Moje pitanje je bilo retorsko. Samo da ti skrenem pažnju na propust.

Hahah ma više ništa nisam sigurna Npr. u ovom zadatku sam samo džabe zakomplikovala, a može da se uradi jednostavnije kao što je i Nađa napisala

Tvoje rešenje je sasvim ok samo pazi šta radiš kada iz opštih rešenja (sa [inlmath]k[/inlmath]) kreneš da tražiš konkretna rešenja u nekom intervalu.
Inače Nađino rešenje nije tačno jer je nešto pogrešila oko kvadratne jednačine, mada je dobro počela.
[dispmath]\cos^2x-\sin^2x=\cos x\\
\cos^2x-1+\cos^2x=\cos x\\
2\cos^2x-\cos x-1=0\\
\cos x=a\\
2a^2-a-1=0\\
a_1=1\\
a_2=-\frac{1}{2}[/dispmath] [inlmath]\cos x=-1[/inlmath] nema rešenja koja su navedena.

E da, baš sam to htela sad da napišem. Mislim da nije dobro uradila kvadratnu, ne dobije se [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] nego [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath]

Imam jedno pitanje vezano uopšte za trignometrijske jednačine. Npr. meni nije problem da rešim jednačinu, ali na kraju se zapetljam oko tih rešenja. U jednoj jednačini sam sredila do kraja i dobila [inlmath]\cos2x=0[/inlmath]. Da li će tu biti samo jedno rešenje a to je [inlmath]\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath] ili će biti još neko? A u zadatku nije bio dat interval, samo piše da se reši jednačina.

A što se tiče ovog zadatka ovde, je l' na kraju ima samo tri rešenja?

Uporno ti govorimo da ti fali jedno rešenje ali ti hoćeš da ih ima [inlmath]3[/inlmath].
Sva rešenja su sadržana u izrazu koji si navela.
[dispmath]\cos2x=0\\
2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/dispmath]

Pošto uglavnom kod trigonometrijskih jednačina traže samo broj rešenja (koliko ih ima), a ne i koja su tačno, da li moram da rešenja sa [inlmath]k[/inlmath] prevodim u konkretno rešenje (bez [inlmath]k[/inlmath])?

Ništa nije moranje, ako možeš da ih prebrojiš bez zapisivanja ti uradi tako.

Da da u zurbi sam pogresila u pravu ste.

Izvinjavam se što nastavljam da vas smaram, ali ja moram da napišem opet ceo zadatak, ali na Nađin način, pa mi vi napišite da li je to to. I moj način nije pogrešan, ali mi je ovo možda jednostavnije
[dispmath]\cos^4x-\sin^4x=\cos x[/dispmath][dispmath]\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x+\sin^2x\right)=\cos x[/dispmath][dispmath]\cos^2x-1+\cos^2x=\cos x[/dispmath][dispmath]2\cos^2x-\cos x-1=0[/dispmath][dispmath]\cos x=t[/dispmath][dispmath]2t^2-t-1=0[/dispmath][dispmath]t_1=1;\quad t_2=-\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\cos x=1[/dispmath][dispmath]x_1=2k\pi[/dispmath][dispmath]x_2=0[/dispmath][dispmath]\cos x=-\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath] Za [inlmath]k=0\;\longrightarrow\;x_3=-\frac{\pi}{3}[/inlmath]
Za [inlmath]k=1\;\longrightarrow\;x_3=\frac{5\pi}{3}[/inlmath]

Rešenja su [inlmath]0,2\pi,-\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}[/inlmath]?

Tako je, samo sto ja za [inlmath]x_3[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] dobijam drugacija resenja [inlmath]x_3=\frac{2\pi}{3}[/inlmath] a [inlmath]x_4=\frac{4\pi}{3}[/inlmath]. Kosinus je negativan u drugom i trecem kvadrantu. I onda sam od [inlmath]\pi[/inlmath] oduzela [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] sto je [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath] odnosno [inlmath]x_3=\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] gde je resenje u skladu sa intervalom samo [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath] a za treci kvadrant na [inlmath]\pi[/inlmath] sam dodala [inlmath]\frac{\pi}{3}[/inlmath] znaci to je [inlmath]\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] odnosno [inlmath]x_4=\frac{4\pi}{3}[/inlmath] i jedino resenje ovde je [inlmath]\frac{4\pi}{3}[/inlmath]
Tako da jednacina ima ukupno [inlmath]4[/inlmath] resenja [inlmath]x_1=0,\;x_2=2\pi,\;x_3=\frac{2\pi}{3},\;x_4=\frac{4\pi}{3}[/inlmath]
Na [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath] kosinus je pozitivan, a treba da bude negativan.

Kako sam ja onda dobila ova rešenja [inlmath]-\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}[/inlmath] kad sam u prvom postu tačno napisala sva rešenja, samo mi je falila [inlmath]0[/inlmath]? Kako god, zadatak je rešen, bolje da ne komentarišemo više

resenje [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath] automatski otpada jer je interval resenja od [inlmath][0,2\pi][/inlmath]. A za [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] mozes videti i na krugu da je kosinus njegov pozitivan to ti je [inlmath]300^\circ[/inlmath]. Zbog toga uvek kada je [inlmath]\cos x=-\frac{1}{2}[/inlmath] i kod nekih slicnih jednacina gde se javlja minus nikad ne pisem ispred minus da ne bi doslo do greske u resenjima. Vec gledam sa kruga gde bi ta funkcija bila negativna..

Kada dobijem nešto jednostavno kao [inlmath]\cos2x=\cos x[/inlmath] lakše mi je samo da nacrtam grafik [inlmath]\cos2x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] i prebrojim broj preseka u datom intervalu. Možda je to samo meni lakše... izvinjavam se što malo kasnim

MartinaJuric je napisao:Kako sam ja onda dobila ova rešenja [inlmath]-\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}[/inlmath] kad sam u prvom postu tačno napisala sva rešenja, samo mi je falila [inlmath]0[/inlmath]? Kako god, zadatak je rešen, bolje da ne komentarišemo više

Žao mi je, al' ipak moram malo da prokomentarišem (pa makar i s izvesnim zakašnjenjem), jer mi se čini da su neke stvari ostale nejasne.
Iz [inlmath]\cos x=-\frac{1}{2}[/inlmath] definitivno nije trebalo da dobiješ rešenja [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{3}[/inlmath] (BTW te dve vrednosti imaju isti položaj na trigonometrijskoj kružnici, samo što se razlikuju za jedan pun okret, tj. za [inlmath]2k\pi[/inlmath]).
Nacrtaj trigonometrijsku kružnicu, na kosinusnoj osi (to je ona horizontalna osa) obeleži projekciju [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath] (znači, levo od koordinatnog početka), pa pogledaj kojim uglovima će odgovarati ta projekcija na kosinusnoj osi. Ako dobro poznaješ uglove na trigonometrijskoj kružnici, odmah možeš očitati da će to biti uglovi [inlmath]\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath]. A pošto ti se traži samo interval [inlmath][0,2\pi][/inlmath], to će onda biti uglovi [inlmath]\frac{2\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]\frac{4\pi}{3}[/inlmath] (tj. [inlmath]k=0[/inlmath]).

MartinaJuric je napisao:[dispmath]\cos x=1[/dispmath][dispmath]x_1=2k\pi[/dispmath][dispmath]x_2=0[/dispmath][dispmath]\cos x=-\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath]

Za [inlmath]x_3=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] sam upravo napisao, to je netačno. Takođe, rešenje [inlmath]x_2=0[/inlmath] je suvišno, jer to rešenje sledi iz prvog skupa rešenja [inlmath]x_1=2k\pi[/inlmath] kada je [inlmath]k=0[/inlmath].
Štaviše, iz skupa rešenja [inlmath]x_1=2k\pi[/inlmath] dobijaju se dva rešenja koja se nalaze u intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]: to su rešenja [inlmath]0[/inlmath] (za [inlmath]k=0[/inlmath]) i [inlmath]2\pi[/inlmath] (za [inlmath]k=1[/inlmath]).

bobanex je napisao:@MartinaJuric izostavila si nulu kao rešenje mada se dva puta pojavljuje.

Samo da budemo precizniji, da se neko ne bi zbunio. Ne pojavljuje se nula dva puta, već se u intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] dvaput pojavljuje takva pozicija ugla na trigonometrijskoj kružnici za koju je kosinus jednak jedinici – jednom kao [inlmath]0[/inlmath], drugi put kao [inlmath]2\pi[/inlmath], pri čemu je njihov položaj na kružnici isti, samo se razlikuju za jedan pun okret kruga (slično kazaljkama na časovniku pre tačno 12 sati i sada).

MartinaJuric je napisao:Npr. meni nije problem da rešim jednačinu, ali na kraju se zapetljam oko tih rešenja.

Pa lepo sam ti ovde pokazao kako svodiš te skupove rešenja na zadati interval (uz naponemu da je svakako brže i efikasnije da to radiš pomoću trigonometrijske kružnice, al' može i ovako).
Znači, ako imaš skup rešenja [inlmath]x=2k\pi[/inlmath] (koji dobiješ iz [inlmath]\cos x=1[/inlmath]), tada lepo postaviš uslov da rešenje mora biti u intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]:
[dispmath]0\le2k\pi\le2\pi[/dispmath] Podeliš sve sa [inlmath]2\pi[/inlmath],
[dispmath]0\le k\le1[/dispmath] i, prema tome, [inlmath]k[/inlmath] može biti ili [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath]. Za [inlmath]k=0[/inlmath] rešenje će biti [inlmath]0[/inlmath] (kad uvrstiš [inlmath]k=0[/inlmath] u [inlmath]2k\pi[/inlmath]), a za [inlmath]k=1[/inlmath] rešenje će biti [inlmath]2\pi[/inlmath] (kad uvrstiš [inlmath]k=1[/inlmath] u [inlmath]2k\pi[/inlmath]).
Za skupove rešenja [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] dobije se samo [inlmath]k=0[/inlmath], tj. rešenja su [inlmath]x=\frac{2\pi}{3}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}[/inlmath].

roshoo je napisao:Kada dobijem nešto jednostavno kao [inlmath]\cos2x=\cos x[/inlmath] lakše mi je samo da nacrtam grafik [inlmath]\cos2x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] i prebrojim broj preseka u datom intervalu.

Ovo je definitivno najefikasniji način, za one koji su vični crtanju grafika trigonometrijskih funkcija.

[dispmath]x_1=\frac{2k\pi}{3}\\
x_1\in\left\{0,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right\}\\
x_2=2k\pi\\
x_2\in\left\{0,2\pi\right\}[/dispmath] Na ove dve nule sam mislio.

Aha, nesporazum. OK.