MATEMANIJA

Treba mi pomoć oko par zadataka iz trigonometrije. Ne znam da li ih već ima na forumu, nisam ih našla, pa ako neko može da uradi bila bih zahvalna

1. Ako je [inlmath]\sin x+\cos x=a[/inlmath], tada je [inlmath]\sin^4x+\cos^4x[/inlmath] jednako? Odgovor je:
[dispmath]\frac{1+2a^2-a^4}{2}[/dispmath] 2. Ako je [inlmath]\sin^6x+\cos^6x=a[/inlmath] onda je [inlmath]\cos4x[/inlmath] jednak? Odgovor je:
[dispmath]\frac{8a-5}{3}[/dispmath]

Za prvi zadatak iskvadriraj [inlmath]\sin x+\cos x=a[/inlmath] i izrazi cemu je jednako [inlmath]\sin x\cos x[/inlmath]
[inlmath]\sin^4x+\cos^4x[/inlmath] napisi kao [inlmath]\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2[/inlmath] pa ce iz toga da sledi da je [inlmath]1-2\sin^2x\cos^2x=\sin^4x+\cos^4x[/inlmath]
i tu ubacis ono [inlmath]\sin x\cos x[/inlmath] koje si prethodno izrazila tako sto si onu jednacinu iskvadrirala. Dobija se tacno, proverila sam

Hvala ti puno Mislila sam da treba da se digne na kvadrat, ali nisam bila sigurna. Jel to znači da i ovaj drugi treba da se radi tako?

Da slican je postupak, pokusaj sama da ga resis

Nađa je napisao:Za prvi zadatak iskvadriraj [inlmath]\sin x+\cos x=a[/inlmath] i izrazi cemu je jednako [inlmath]\sin x\cos x[/inlmath]

Da li je dozvoljeno kvadriranje posto nema nikakvih informacija o znaku leve i desne strane?

Dozvoljeno je, jer ovde ne rešavamo jednačinu (kod jednačine bi, prilikom kvadriranja, svakako trebalo postaviti uslove), već transformišemo podatak koji nam je dat u zadatku (podatak da je [inlmath]\sin x+\cos x=a[/inlmath]).
Kod jednačine tražimo vrednost nepoznate [inlmath]x[/inlmath] koja je kao takva figurisala pre kvadriranja (zbog čega prilikom kvadriranja moramo postaviti uslove), dok ovde koristimo izraz, [inlmath]\sin x\cos x[/inlmath], koji smo dobili posle kvadriranja. Zbog toga dobijamo da je [inlmath]\sin x\cos x[/inlmath] sigurno jednako [inlmath]\frac{a^2-1}{2}[/inlmath], bez obzira na predznake leve i desne strane pre kvadriranja.
Uporedi to sa slučajem da tražimo vrednost [inlmath]x^2[/inlmath], ako je u zadatku dato da je [inlmath]x=a[/inlmath]. Tada bismo samo kvadrirali obe strane, ne postavljajući nikakve uslove s predznacima leve i desne strane, i jednostavno dobijamo da je [inlmath]x^2=a^2[/inlmath]. To je zbog toga što nam se u tom zadatku traži onaj izraz (konkretno, [inlmath]x^2[/inlmath]) koji smo dobili posle, a ne pre kvadriranja.