MATEMANIJA

Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]\sin^4x-\cos^4x=\cos3x[/inlmath] na intervalu [inlmath]\displaystyle\left[0,\frac{5\pi}{6}\right][/inlmath] je:
[inlmath]\displaystyle1)\quad\frac{2\pi}{3}\\
2)\quad\pi\\
\displaystyle3)\quad\frac{9\pi}{5}\\
\displaystyle4)\quad\frac{4\pi}{5}\\
\displaystyle5)\quad\frac{\pi}{5}[/inlmath]
[dispmath]\left(\sin^2x-\cos^2x\right)\left(\sin^2x+\cos^2x\right)=\cos3x[/dispmath][dispmath]\sin^2x-\cos^2x=\cos3x[/dispmath][dispmath]-\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=\cos3x[/dispmath][dispmath]-\cos2x=\cos3x[/dispmath][dispmath]\cos3x+\cos2x=0[/dispmath][dispmath]2\cos\frac{3x+2x}{2}\cos\frac{3x-2x}{2}=0[/dispmath][dispmath]\cos\frac{5x}{2}=0[/dispmath][dispmath]\frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath][dispmath]x_1=\frac{\pi}{5}+\frac{2}{5}k\pi[/dispmath][dispmath]\cos\frac{x}{2}=0[/dispmath][dispmath]\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath][dispmath]x_2=\pi+2k\pi[/dispmath] Iz [inlmath]x_1[/inlmath] dobijam [inlmath]\frac{\pi}{5}[/inlmath] za [inlmath]k=0[/inlmath] i [inlmath]\frac{3\pi}{5}[/inlmath] za [inlmath]k=1[/inlmath], a iz [inlmath]x_2[/inlmath] dobijam [inlmath]\pi[/inlmath] za [inlmath]k=0[/inlmath]. To je ukupno [inlmath]3[/inlmath] rešenja, a njihov zbir je [inlmath]\frac{\pi}{5}+\frac{3\pi}{5}+\pi=\frac{9\pi}{5}[/inlmath]

Da li je tačno?

Razmisli o trećem rešenju. Kod prva dva si vodila računa o zadatom intervalu u kome rešenja treba da budu,

Izgleda da [inlmath]x_3[/inlmath] nije rešenje ove jednačine jer se ne nalazi u datom intervalu, tako da je zbir rešenja [inlmath]\frac{4\pi}{5}[/inlmath]?

Tako je ali bi bilo bolje ako bi dobila tačan rezultat iz prve