MATEMANIJA

Jednačina glasi:

[dispmath]\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}=\sqrt[3]4[/dispmath]

Pokušavao sam da obe strane jednačine dignem na treći stepen i zatim sredim izraz, ali ponavljanjem tog postupka nikad se ne dođe do rešenja, jer svaki put po dva treća korena nestanu, ali nova dva se pojave (jer formula za kub binoma glasi [dispmath](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/dispmath] pa ova dva člana u sredini zadržavaju treći koren), tako da me to nije dovelo do rešenja. Verovatno treba smisliti neki trik, ali na osnovu čega odrediti koji?

[dispmath]{(a + b)^3} = {a^3} + 3ab\left( {a + b} \right) + {b^3}\\
a + b = \sqrt[3]{4}[/dispmath]
Doći ćeš do:
[dispmath]{\sin ^2}2x = 1[/dispmath]

Hvala, jasno mi je, ali sada me nešto drugo zbunjuje. Način koji ste vi pokazali se sastoji u tome da napravimo sistem dve jednačine sa dve nepoznate, tako da jedna od njih bude dati uslov iz zadatka, a druga univerzalni identitet koji važi za svaka dva broja. Ako rešim zadatak na isti način, s tim da ne pravim sistem, već dižem dati uslov na treći stepen, onda to izgleda ovako:
[dispmath]\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}=\sqrt[3]4[/dispmath][dispmath]\sin^2x+3\sqrt[3]{\sin^4x\cos^2x}+3\sqrt[3]{\sin^2x\cos^4x}+\cos^2x=4[/dispmath] sređivanjem se dobija
[dispmath]\sqrt[3]{\sin^2x\cos^2x}\left(\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}\right)=1[/dispmath] i sada se
[dispmath]\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}[/dispmath] zameni sa [inlmath]\sqrt[3]4[/inlmath] i dalje se lako rešava. Dakle, uzeli smo uslov iz zadatka, primenili tipične ekvivalentne transformacije, i onda ga transformisali koristeći isti taj uslov od koga smo krenuli (govorim o zameni sa [inlmath]\sqrt[3]4[/inlmath]). Obično kad se tako nešto uradi, sređivanjem se dobija [inlmath]0=0[/inlmath] ili neki drugi trivijalni univerzalni identitet. Zanima me zašto se to ovde nije desilo.

Tako je, upravo smo takav slučaj imali u ovom zadatku.
U principu se može raditi na taj način, s tim da imaš na umu da pored ispravnih, nekad možeš dobiti i neka neispravna rešenja, što bi zahtevalo da svako od dobijenih rešenja uvrstiš u početnu jednačinu i proveriš da li za neka od rešenja ista neće biti zadovoljena. Ako je to slučaj, ta rešenja, naravno, odbaciš.

Možeš raditi i na drugi način, u kojem neće biti korišćen uslov od kojeg se krenulo. To je da obe strane digneš na treći, što si i učinio, nakon čega bi trebalo da dobiješ
[dispmath]\sqrt[3]{\sin^4x\cos^2x}+\sqrt[3]{\sin^2x\cos^4x}=1[/dispmath] Podeli obe strane sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] (lako se može pokazati da [inlmath]\cos^2x[/inlmath] ne može biti nula, uvrštavanjem u početnu jednačinu), a nakon toga uvedi smenu [inlmath]\text{tg}^2x=t^3[/inlmath]...