MATEMANIJA

Pozz svima
Pao sam kolokvij iz matematike pa sam krenuo opet uciti i ponavljati sve da ostanem uigran za integralni ispit.
Uzeo sam zbirku od Uscumlica i naravno na prvih 15ak stranica naletim na ovaj zadatak:
[dispmath]\text{tg}(x)=\text{tg}(3x)[/dispmath] Kako da izvedem rjesenja iz ovakve jednacine?
Hvala unaprijed!

Pozdrav.

Probaj da iskoristis sledeci identitet: [inlmath]\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}[/inlmath]
[inlmath]\alpha[/inlmath] ti je [inlmath]x[/inlmath], a [inlmath]\beta[/inlmath] ti je [inlmath]2x[/inlmath] jer je [inlmath]\tan(3x)=\tan(x+2x)[/inlmath]. To dakle radis 2 puta. Drugi put je za [inlmath]\tan(2x)=\tan(x+x)[/inlmath]. Dobices malo komplikovan izraz... Preporucio bih ti da uvedes smenu [inlmath]\tan x=t[/inlmath], malo sredis izraz, napravis jednacinu po [inlmath]t[/inlmath], tipa:
[dispmath]at^4+bt^3+ct^2+dt+e[/dispmath] naravno ne mora da bude ovakva jednacina, samo dajem primer, i pokusas da resis po [inlmath]t[/inlmath], i vratis u smenu da nadjes koliko je [inlmath]x[/inlmath]. Iz smene ti vazi:
[dispmath]x=\arctan t[/dispmath] kada ga izracunas.

Hvalaaa
Sretni praznici!
ps: rijesio sam!

Zar ne bi bilo lakse primeniti formulu za razliku dva tangensa:[dispmath]\text{tg }\alpha - \text{tg }\beta = \frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos\alpha\cos\beta}[/dispmath]ili jednostavno tangens napisati kao [inlmath]\cos/\sin[/inlmath]?

Slazem se da je laksi nacin, moze jednostavno i da se "arkustangesuje" obe strane jednacine, sa periodom [inlmath]+k\pi[/inlmath].
Dakle [dispmath]\arctan \tan x=\arctan \tan3x[/dispmath] i dobija se da je [dispmath]x=3x+k\pi[/dispmath] ne obracajuci paznju na znak, [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath]. Naravno treba naglasiti da tangens nije definisan za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath], pa se verovatno preskace neka perioda. U svakom slucaju, sta sam se setio u tom trenutku tako sam uradio.Nije mi uopste bila na umu ta forumla.Svakako sto se tice trigonometrije, zadatak se moze resavati na [inlmath]\infty[/inlmath] nacina.

Subject je napisao:Naravno treba naglasiti da tangens nije definisan za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath],

Za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], da budemo precizni.

Ako već nabrajamo razne načine (što svakako pozdravljam), predložio bih i grafički način – skicira se grafik funkcije [inlmath]f_1(x)=\text{tg }x[/inlmath] i grafik funkcije [inlmath]f_2(x)=\text{tg }3x[/inlmath], a zatim se uoče presečne tačke ta dva grafika, čije [inlmath]x[/inlmath]-koordinate predstavljaju rešenja jednačine [inlmath]\text{tg }x=\text{tg }3x[/inlmath]...