MATEMANIJA

Pozdrav.

Na svoju ruku radim dodatno gradivo za prirodoslovno matematičku gimnaziju, pa imam određene probleme.

Potrebno je dokazati jednu od Napierovih formula za pravokutni sferni trokut.
Slika koja mi je dana u udžbeniku:


Dokazivao sam neke od ostalih Napierovih formula bez većih problema, na primjer sljedeću relaciju:
[dispmath]\cos{c}=\cos{a}\cos{b}[/dispmath] Prvo sam izvukao sljedeće relacije:
[dispmath]\triangle OQP\;\to\;\cos{c}=\frac{|OQ|}{|OP|}\\
\triangle OQR\;\to\;\cos{a}=\frac{|OQ|}{|OR|}\;\to\;|OQ|=\cos{a}\ |OR|\\
\triangle ORP\;\to\;\cos{b}=\frac{|OR|}{|OP|}\;\to\;|OR|=\cos{b}\ |OP|[/dispmath] Uvrstio:
[dispmath]\cos{c}=\frac{\cos{a}\ |OR|}{|OP|}=\frac{\cos{a}\cos{b}\ |OP|}{|OP|}=\cos{a}\cos{b}[/dispmath] I to je dokazano.

Samo da napomenem da je ovo je prva lekcija o sfernoj trigonometriji, pa se još uvijek ne koriste poučci o sinusima i kosinusima za sferni trokut. Zato sam kod dokazivanja išao jednostavnim putem na način da sam izvukao svaki od kosinusa. Osim toga za jednu od relacija je stavljen i primjer u knjizi da se dokazuje upravo na ovakav način.

E sad, relacija koju ne mogu dokazati:
[dispmath]\sin{a}=\sin\alpha\sin{c}[/dispmath] Ovdje sam krenuo na isti način kao i u prošlom primjeru:
[dispmath]\triangle OQR\;\to\;\sin{a}=\frac{|QR|}{|OR|}\\
\triangle PQR\;\to\;\sin\alpha=\frac{|QR|}{|QP|}\;\to\;|QR|=\sin\alpha\ |QP|[/dispmath] Ovdje me malo zbunjuje što gornji kut (na slici) nije označen, odnosno nisam siguran dali je [inlmath]\angle QPR=\angle BAC=\alpha[/inlmath]?
[dispmath]\triangle OQP\;\to\;\sin{c}=\frac{|QP|}{|OP|}\;\to\;|QP|=\sin{c}\ |OP|[/dispmath] Slijedilo bi:
[dispmath]\sin{a}=\frac{\sin\alpha\cdot|QP|}{|OR|}\\
\sin{a}=\frac{\sin\alpha\cdot\sin{c}\cdot|OP|}{|OR|}[/dispmath] Tako da eto dalje ne znam čak mi se ovo čini krivo jer da bi relacija koju treba dokazati bila istinita valjda bi trebalo biti [inlmath]\frac{|OP|}{|OR|}=1\;\to\;|OP|=|OR|[/inlmath], a to je nemoguće jer je [inlmath]OP[/inlmath] hipotenuza, a [inlmath]OR[/inlmath] kateta pravokutnog trokuta [inlmath]ORP[/inlmath].

Dal mi može netko reći gdje griješim?

Hvala

dr.trovacek je napisao:Ovdje me malo zbunjuje što gornji kut (na slici) nije označen, odnosno nisam siguran dali je [inlmath]\angle QPR=\angle BAC=\alpha[/inlmath]?

Nemoj dali da pišeš sastavljeno, molim te.
Ne, [inlmath]\angle QPR[/inlmath] nije i ne može nikako biti jednak [inlmath]\alpha[/inlmath]. Jer, ako bi bio jednak [inlmath]\alpha[/inlmath], to bi značilo, posmatrajući trougao [inlmath]\triangle PQR[/inlmath], da je zbir [inlmath]\alpha+\beta+90^\circ[/inlmath] jednak [inlmath]180^\circ[/inlmath], pa bi i zbir uglova sfernog trougla [inlmath]ABC[/inlmath] takođe bio jednak [inlmath]180^\circ[/inlmath] (jer su mu tada uglovi isti kao uglovi trougla [inlmath]\triangle PQR[/inlmath]), a znamo da zbir uglova kod sfernog trougla ne može biti [inlmath]180^\circ[/inlmath], već mora biti strogo veći od [inlmath]180^\circ[/inlmath].

Možda te buni, ako je [inlmath]\angle QPR\ne\angle BAC[/inlmath], zbog čega je onda [inlmath]\angle PQR=\angle ABC=\beta[/inlmath]. Ako posmatramo kružni isečak [inlmath]AOB[/inlmath], uočavamo da je tangenta na luk [inlmath]AB[/inlmath] u tački [inlmath]B[/inlmath] paralelna sa [inlmath]PQ[/inlmath] (jer su obe normalne na [inlmath]OB[/inlmath] a pripadaju istoj ravni – ravni kružnog isečka). Na isti način zaključujemo, posmatrajući kružni isečak [inlmath]BOC[/inlmath], i da je tangenta na luk [inlmath]BC[/inlmath] u tački [inlmath]B[/inlmath] paralelna sa [inlmath]QR[/inlmath]. Prema tome, tangente na krake ugla [inlmath]\beta[/inlmath] u tački [inlmath]B[/inlmath] paralelne su kracima ugla [inlmath]\angle PQR[/inlmath], te su ovi uglovi jednaki.
Ovo razmišljanje ne možemo primeniti na ugao [inlmath]\angle QPR[/inlmath], jer njegovi kraci nisu normalni na [inlmath]OA[/inlmath]. Zbog toga je [inlmath]\angle QPR\ne\angle BAC[/inlmath].

Radi dokazivanja relacije [inlmath]\sin a=\sin\alpha\sin c[/inlmath] na osnovu priložene slike, kako ne bismo morali da na njoj crtamo nove trouglove već samo da koristimo postojeće, ja bih preporučio da se dokaže relacija [inlmath]\sin b=\sin\beta\sin c[/inlmath] (što se s postojeće slike dokazuje vrlo lako), a da se zatim iz toga zaključi da će, analogno, važiti i [inlmath]\sin a=\sin\alpha\sin c[/inlmath], jer su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] međusobno ravnopravne katete trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath], a takođe i [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] njegovi međusobno ravnopravni uglovi nad tim katetama.

Nisam pazio uvijek brzopleto pišem i onda ima puno tipfelera pa na kraju ispravljam, a koncentrirao sam se prvenstveno na matematički dio...

Puno hvala, pomoglo mi je ovo pojašnjenje, naročito što se tiče ovog s kutom alfa.