MATEMANIJA

Evo jos jednog zadatka gde ne mogu da pronadjem gresku:

Trazi se zbir najmanjeg pozitivnog i najmanjeg negativnog resenja jednacine:
[dispmath]\sin 5x-\sin x+3\cos x=0[/dispmath]
Evo mog pokusaja, bilo bi lepo kada bi mi neko ukazao na gresku u mom postupku:
[dispmath]2\cos\frac{5x+x}{2}\sin\frac{5x-x}{2}+3\cos 3x=0[/dispmath][dispmath]2\cos 3x\sin 2x+3\cos 3x=0[/dispmath][dispmath]\cos 3x\left(2\sin 2x+3\right)=0[/dispmath][dispmath]\cos 3x=0\qquad\xcancel{\sin 2x=-\frac{3}{2}}[/dispmath][dispmath]\begin{array}{l}
3x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\[1em]
x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\\[1em]
x=\frac{\pi+2k\pi}{6}
\end{array}\hspace{8em}\begin{array}{ll}
k=-1: & x=\frac{\pi-2\pi}{6}=\enclose{box}{-\frac{\pi}{6}}\\
k=-2: & x=\frac{\pi-4\pi}{6}=-\frac{3\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}\\
k=0: & x=\frac{\pi}{6}\\
k=1: & x=\frac{3\pi}{6}\quad\enclose{box}{x=\frac{\pi}{2}}
\end{array}[/dispmath][dispmath]\left(-\frac{\pi}{6}\right)^2+\left(\frac{\pi}{2}\right)^2=\frac{\pi^2}{36}+\frac{\pi^2}{4}=\frac{10\pi^2}{36}=\frac{5\pi^2}{18}[/dispmath]

Uvideo sam gresku, najmanje pozitivno resenje mi je [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] a ne [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]
Moze delete teme, moze i da ostane ako nekom zareba (Odluku prepustam administratorima)

Slican zadatak trazi se zbir svih resenja jednacine:
[dispmath]\cos 2x+\sin^2x=\frac{3}{4}[/dispmath]
ja dobijem [inlmath]2\pi[/inlmath] medjutim u resenju stoji [inlmath]4\pi[/inlmath],kratak je zadacic nadam se da ce neko moci da mi pomogne.

Da se ne trazi zbir svih resenja jednacine na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]?
[dispmath]\cos 2x+\sin^2x=\frac{3}{4}[/dispmath]
[dispmath]\cos^2x-\sin^2x+\sin^2x=\frac{3}{4}[/dispmath]
[dispmath]\cos^2x=\frac{3}{4}[/dispmath]
[dispmath]\cos x=\pm\frac{\sqrt 3}{2}[/dispmath]
[dispmath]x_1=\frac{\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_2=\frac{5\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_3=\frac{7\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_4=\frac{11\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_1+x_2+x_3+x_4=4\pi[/dispmath]
Ako je resenje [inlmath]4\pi[/inlmath] onda mislim da bi trebalo da postoji uslov [inlmath][0,2\pi][/inlmath]

Jeste to sam zaboravio da stavim, a izbrisao sam sliku na kojoj je bio ceo zadatak.

Moja greska je sto sam za [inlmath]x_4[/inlmath], pisao resenje kao [inlmath]\frac{0-\pi}{6}[/inlmath] a ne kao ti [inlmath]2\pi-\frac{\pi}{6}[/inlmath]
Mozes li mi objasniti zbog cega se resenja razlikuju kada je [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2\pi[/inlmath] isto?

Kada oduzmes od nule [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] dobijes [inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath], a [inlmath]x_1[/inlmath] nam je [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] i kad sabiras resenja ti ces [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_4[/inlmath] da skratis i dobijas [inlmath]2\pi[/inlmath]

Dobili smo da je [inlmath]\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]

Tako da je
[dispmath]x_1=\frac{\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_2=\frac{5\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_3=\frac{7\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]x_4=\frac{11\pi}{6}[/dispmath]
Nemoj da gledas to sto su [inlmath]\cos 0[/inlmath] i [inlmath]\cos 2\pi[/inlmath] isti - ako tako gledamo onda su i [inlmath]\cos 30^\circ[/inlmath] i [inlmath]\cos 330^\circ[/inlmath] isti, kao i [inlmath]\cos 150^\circ[/inlmath] i [inlmath]\cos 210^\circ[/inlmath]

Znaci mi ovde ne sabiramo kosinuse tih uglova vec same uglove tj.
[dispmath]\frac{\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]\frac{5\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]\frac{7\pi}{6}[/dispmath]
[dispmath]\frac{11\pi}{6}[/dispmath]
ako bi sabirali kosinuse onda nista ne bi dobili:
[dispmath]\frac{\sqrt 3}{2}+\left(-\frac{\sqrt 3}{2}\right)+\left(-\frac{\sqrt 3}{2}\right)+\frac{\sqrt 3}{2}[/dispmath]
[dispmath]\frac{\sqrt 3}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}=0[/dispmath]
Jel ok sad?

Sad je ok, hvala puno.

maxaa je napisao:Uvideo sam gresku, najmanje pozitivno resenje mi je [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath] a ne [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]
Moze delete teme, moze i da ostane ako nekom zareba (Odluku prepustam administratorima)

Ništa ne smeta, nek stoji, upravo što ti kažeš, može nekom da zatreba.

Nego, nešto me tu žulja oko teksta zadatka.
Da li zadatak zaista glasi „Traži se zbir najmanjeg pozitivnog i najmanjeg negativnog rešenja jednačine“
Ako tako piše, onda bi mogao s punim pravom da kažeš da je zbir jednak [inlmath]-\infty[/inlmath] i ne bi imali pravo da ti taj odgovor ne priznaju. Zbog periodičnosti, i pozitivnih i negativnih rešenja ima beskonačno mnogo, a najmanje negativno rešenje bi bilo [inlmath]-\infty[/inlmath], pa kad se sabere s najmanjim pozitivnim rešenjem, a to je [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath], zbir je opet [inlmath]-\infty[/inlmath].
Ako se misli na negativno rešenje koje je najbliže nuli, onda se mora reći ili najveće negativno rešenje, ili po apsolutnoj vrednosti najmanje negativno rešenje.

I nije mi još jasno zbog čega si u svom postupku, na samom kraju, sabirao kvadrate rešenja, da li možda u originalnom tekstu piše da se traži zbir kvadrata tih rešenja?

A što se tiče ovog poslednjeg zadatka, upravo ovo što ti je forza napisao – nemoj mešati same uglove i kosinuse uglova. Znači, [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2\pi[/inlmath] nije isto: [inlmath]0[/inlmath] je [inlmath]0[/inlmath], a [inlmath]2\pi[/inlmath] je [inlmath]2\pi[/inlmath].
[inlmath]\cos 0[/inlmath] jeste isto što i [inlmath]\cos 2\pi[/inlmath], ali to je već druga stvar...
U zadatku je dato da ugao pripada intervalu između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2\pi[/inlmath], prema tome, rešenje koje te buni (koje si mogao napisati i kao [inlmath]-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i kao [inlmath]\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] – svejedno je potpuno(, ne sme se svesti na rešenje [inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath], jer ono ne bi pripadalo zadatom intervalu, već bi se smelo svesti samo na rešenje [inlmath]\frac{11\pi}{6}[/inlmath], jer ono jeste između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2\pi[/inlmath].

Da li zadatak zaista glasi „Traži se zbir najmanjeg pozitivnog i najmanjeg negativnog rešenja jednačine“

Moja greska, u tekstu zadatka se trazi zbir najmanjeg pozitivnog i najveceg negativnog.

I nije mi još jasno zbog čega si u svom postupku, na samom kraju, sabirao kvadrate rešenja, da li možda u originalnom tekstu piše da se traži zbir kvadrata tih rešenja?

Upravo tako, u zadatku se trazi zbir kvadrata tih resenja. Ne zamerite, bilo je sve na slikama ali sam ih obrisao nesto kasnije zeleci da zadatak prestavim preko latex programa, pa je tako i doslo do tih propusta i gresaka.

Meni treba pomoć oko ovog zadatka:

Zbir najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog rešenja jednačine:
[dispmath]\sin 2x+\sin^4\left(\frac{x}{2}\right)=\cos^4\left(\frac{x}{2}\right)[/dispmath]
Rešenje je [inlmath]-\frac{\pi}{3}[/inlmath]

Rešavanjem ove jednačine dolazim do [inlmath]\sin x=\frac{1}{2}[/inlmath] ali nzm sta dalje i da li je to dobro uopste ..
Hvala unapred